CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 和圆弧轨迹进行控制。 和圆弧轨迹进行控制 。 上图为加工某一轮廓时的刀具轨 迹曲线， 运动进行切削加工。 迹曲线，加工时要求刀具沿曲线L运动进行切削加工。 我们可以进行这样的分析， 我们可以进行这样的分析 ， 首先将曲线 L 分割为 l0、 若干段， l1、…li、…lN若干段，再用直线和圆弧代替这些小的曲 线段， 足够小时， 就接近了原曲线； 线段 ， 当逼近误差 δ 足够小时 ， 就接近了原曲线 ； 然后 运动的合成， 数控系统通过各坐标方向 最小位移量 运动的合成 ， 不断 地控制刀具相对工件运动， 走出直线和圆弧， 地控制刀具相对工件运动 ， 走出直线和圆弧 ， 从而非常 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线。 数字化 ” 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线 。 这体现出了 “ 数字化” 的概念。 的概念。 这种在允许误差范围内， 用沿直线或圆弧（ 这种在允许误差范围内 ， 用沿直线或圆弧 （ 逼近函 合成的分段运动代替任意曲线运动， 数 ） 的 最小位移量 合成的分段运动代替任意曲线运动 ， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法 ， 是数字控制的基本 构思之一，这个过程就是插补。 构思之一，这个过程就是插补。
插补开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算 N 终点判别 Y 插补结束
二、逐点比较法直线插补 如图所示， 如图所示 ， 对 XY平面第 平面第 一象限直线段进行插补。 一象限直线段进行插补 。 直 线段起点位于坐标原点O， 线段起点位于坐标原点 ，终 点 位 于 A （ Xe,Ye ） 。 设 点 P （ Xi， Yi） 为任一动点 （ 加 ， ） 为任一动点（ 工点、插补点） 工点、插补点）。 点在直线OA上时 上时， 当P点在直线 上时， 点在直线 XeYi – XiYe = 0 当P点在直线 上方时， 点在直线OA上方时， 点在直线 上方时 XeYi – XiYe > 0 点在直线OA下方时 下方时， 当P点在直线 下方时， 点在直线 XeYi – XiYe < 0
数字控制中采取的思路是，用少数几种典型曲线 数字控制中采取的思路是，用少数几种典型曲线 中采取的思路是 来逼近加工零件时所需要的各式各样的曲线（ 轨迹） 来逼近加工零件时所需要的各式各样的曲线 （ 轨迹 ） ， 常用的典型曲线是直线和圆弧。CNC系统只须对少数几 常用的典型曲线是直线和圆弧。CNC系统只须对少数几 种典型轨迹曲线（直线和圆弧）进行运算及控制。 种典型轨迹曲线（直线和圆弧）进行运算及控制。 用 典 型曲线代 替原曲线， 然后用各 坐标方向 最小位移 量的合成 代替典型 曲线。 曲线。
第二章
机床数控装置的插补原理
一、插补的基本概念 数控加工的零件可分为曲线类零件和曲面类零件两种。 的零件可分为曲线类零件和曲面类零件两种 数控加工的零件可分为曲线类零件和曲面类零件两种 。 曲线类零件——由直线、 ——由直线 曲线类零件——由直线、圆弧或其它形式平面曲线组 成零件的轮廓（例如平面凸轮廓面） 成零件的轮廓（例如平面凸轮廓面）； 曲面类零件——由典型曲面（如圆柱面、圆锥面等） ——由典型曲面 曲面类零件——由典型曲面（如圆柱面、圆锥面等） 以及自由曲面构成零件的表面。 以及自由曲面构成零件的表面。 数控加工时，CNC系统控制的是刀具相对于工件的运 数控加工时，CNC系统控制的是刀具相对于工件的运 动轨迹，它是以刀具上某个特殊点 刀具上某个特殊点相对于工件的运动轨 动轨迹 ，它是以刀具上某个特殊点相对于工件的运动轨 迹来表示。刀具运动轨迹在几何上表示为曲线， 迹来表示。刀具运动轨迹在几何上表示为曲线， 不同的 零件表面需要控制的刀具轨迹曲线是各式各样的。 零件表面需要控制的刀具轨迹曲线是各式各样的。 对每一种曲线的控制都要有相应的算法——例如 例如 对每一种曲线的控制都要有相应的算法 G01、G02、G03指令对应的算法，所以由 指令对应的算法， 、 、 指令对应的算法 所以由CNC系统 系统 实现对所有这些曲线的控制计算是不可能的。 实现对所有这些曲线的控制计算是不可能的。
采用逐点比较法计算的关键是， 采用逐点比较法计算的关键是 ， 选择能反映 加工点与给定轨迹图形偏差的偏差判别函数， 加工点与给定轨迹图形偏差的偏差判别函数 ， 以 及偏差的计算公式。 及偏差的计算公式。
采用逐点比较法插补计算 ， 每走一步要进行以下四 采用逐点比较法 插补计算， 插补计算 个步骤，具体如下： 个步骤，具体如下： ① 偏差判别 根据偏差确定刀具相对轨迹图形的位置。 根据偏差确定刀具相对轨迹图形的位置。 根据偏差判别的结果， ② 坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐 标轴进给一步，以接近轨迹图形。 标轴进给一步，以接近轨迹图形。 计算新加工点相对轨迹图形的偏差， ③ 偏差计算 计算新加工点相对轨迹图形的偏差，作为 下一步偏差判别的依据。 下一步偏差判别的依据。 判断是否到达终点， ④ 终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第 一步，继续插补；到终点，则停止本程序段的插补。 一步，继续插补；到终点，则停止本程序段的插补。 终点判别可采用三种方法： 终点判别可采用三种方法： 1）判断插补（进给）的总步数； ）判断插补（进给）的总步数； 2）分别判断各坐标轴的进给步数； ）分别判断各坐标轴的进给步数； 3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。 ）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
常用的插补 插补、 功能有直线插补 功能有直线插补、 圆弧插补， 圆弧插补，有的 数控系统还具有 抛物线等插补功 抛物线等插补功 能 。数控系统中 完成插补功能的 装置叫插补器 插补器。 装置叫插补器 。 在 CNC 系 统 中 ， 插补功能主要由 软件来实现， 软件来实现， 称 软件插补。 为软件插补。
第一节 逐点比较法插补
早期数控机床广泛采用的方法， 早期数控机床广泛采用的方法 ，又称 一、插补原理及特点 代数法、醉步法，适用于开环系统。 代数法、醉步法，适用于开环系统。
原理 每走一步控制系统都要将加工点与给定的轨迹 图形相比较，以决定下一步进给方向， 图形相比较 ， 以决定下一步进给方向， 使之逼近加工轨 每个插补循环由偏差判别、进给、 迹。 每个插补循环由偏差判别、进给、 偏差函数计算和 组成。逐点比较法可以实现直线插补、 终点判别四个步骤组成。逐点比较法可以实现直线插补 、 圆弧插补及其它曲线插补。 圆弧插补及其它曲线插补。 运算直观，插补误差小于一个脉冲当量， 特点 运算直观，插补误差小于一个脉冲当量， 输出 脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便。 脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小， 调节方便。 每 次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲， 次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲， 在两坐标系统中 应用较为方便。 应用较为方便。
Y Ae (Xe,Ye) F>0 Pi (Xi,Yi) F<0 X O
选择Fi=XeYi – XiYe 为偏差函数。 为偏差函数。
1、偏差函数 、 Y Ae (Xe,Ye) 对于第一象限直线OA上任一点 对于第一象限直线 上任一点 P(X,Y)，X/Y = Xe/Ye ， e − XYe = 0 ， YX F>0 Pi( (Xi,Yi) 该点的偏差函数Fi为： 该点的偏差函数 Fi = Yi X e − X iYe F<0 2、偏差判别及进给方向 、 O X 方向走一步； 若Fi= 0，表示加工点位于直线上，规定向 +X 方向走一步； ，表示加工点位于直线上，规定向 方向走一步； 若Fi> 0，表示加工点位于直线上方，向 +X 方向走一步； ，表示加工点位于直线上方， 方向走一步。 若Fi< 0，表示加工点位于直线下方，向+Y 方向走一步。 ，表示加工点位于直线下方， 3、偏差函数的计算 、 偏差函数采用递推法计算， 偏差函数采用递推法计算，即由前一点偏差计算后一点偏 差。
采用逐点比较法计算的关键是， 采用逐点比较法计算的关键是 ， 选择 能反映加工点与给定轨迹图形偏差的偏差 能反映加工点与给定轨迹图形偏差的 偏差 判别函数，以及偏差的计算公式。 判别函数，以及偏差的计算公式。
Fi = Yi X e − X iYe
方向走一步, 当Fi>=0，向 +X 方向走一步 ， Fi = Xe Yi -XiYe 方向走一步， 当Fi<0，Fi>=0，向 +X 方向走一步 ， Xi+1 = Xi +1 Fi = Xe Yi -XiYe Fi+1 = XeYi –Ye(Xi +1) =Fi－Ye 方向走一步， 当Fi<0，规定 +Y 方向走一步，则有 ， Yi+1 = Yi +1 Fi+1 = Xe(Yi +1)-YeXi Fi = Xe Yi -XiYe =Fi +Xe 4、终点判别 、 直线插补的终点判别可采用三种方法。 直线插补的终点判别可采用三种方法。 1）判断插补或进给的总步数； ）判断插补或进给的总步数； 2）分别判断各坐标轴的进给步数； ）分别判断各坐标轴的进给步数； 3）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。 ）仅判断进给步数较多的坐标轴的进给步数。
5、逐点比较法直线插补举例 、 对于第一象限直线OA，终点坐 对于第一象限直线 ， 标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点 ，插补从直线起点O 开始， 开始，故F0=0 。终点判别采用判 断进给总步数： 断进给总步数：N=6+4=10，将其 ， 存入终点判别计数器中， 存入终点判别计数器中，每进给一 步减1， 步减 ，当N=0，则停止插补。 ，则停止插补。 O
根据零件轮廓线型的有限信息， 插补 根据零件轮廓线型的有限信息 ， 计算出刀 具的一系列加工点（ 具的一系列加工点 （ 在起点和终点间插入一些中间 完成所谓的数据“密化”工作。 点），完成所谓的数据“密化”工作。 插补有二层意思： 插补有二层意思： 一是用基本线型拟合其它轮廓曲 一是用基本线型拟合其它轮廓曲 体现在编程阶段） 线；（体现在编程阶段） 二是用小的直线段逼近产生基本 二是用小的直线段逼近产生基本 线型（如直线、圆弧等） 线型（如直线、圆弧等）。 （通 常所说的插补概念） 常所说的插补概念） 插补运算具有实时性 具有实时性， 插补运算 具有实时性 ， 直接影 响刀具的实时运动。插补运算的速 响刀具的实时运动。 度和精度是数控装置的重要指标。 度和精度是数控装置的重要指标。 插补原理也叫轨迹控制原理。 插补原理也叫轨迹控制原理。