B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
N为系统状态向量x的维数。
证明： 设初始状态t0=0，系统状态方程的解为：
x(t ) e x(0) e A(t ) Bu( )d
At 0 t
由可控性定义，若系统能控，则对任意的初始状 态矢量x(t0)应能找到u(t)，使之在[t0，t1]有限时间 区间内转移到0，即x(t1)=0，
能观性判据：当不考虑输入信号时，系统为
x ' Ax y Cx
状态完全能观的充分必要条件是
C CA n rank n 1 CA
证明：
系统状态的动态特性为：
x(t ) e A(t t0 ) x(t0 )
假设t0=0，
x(t ) e At x(0)
T G2 (s) G1 (s)
（3）对偶系统的特征方程
sI A sI AT
（4）对偶系统的能控性和能观性
S1
rank B AB An 1 B n
S2
T rank C
AT C T
( AT )n 1 C T n
C CA n rank n 1 CA BT T T B A rank n T T n 1 B ( A )
2 1 1 x' x u 0 1 0
1 2 1 1 0 x 0 1 u x' 0 1 0 1 0 3 0 0
输出能控性
x ' Ax Bu y Cx Du
yu (t ) e A(t ) Bu( )d
0 t
(3) 从输出方程可以看出，如果输出量y(t)的维数m 等于状态变量的维数n，并且C是非奇异的，则求解 状态将是十分简单的，即
x(t ) C 1 y(t )
但一般情况下，m<n，为了能够唯一的求出状态变 量，应在不同的时刻多测量几组输出数据，使之能 构成n个方程。
P 1 PA P 1 n 1 P 1A
又因为：
Pb 0 1 P Ab Pb 1 0 n 1 b 1 P 1A
P 1 b Ab An 1b 0 0 1
2 、能观标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ao x bou y Co x
0 1 Ao 0
an b1 b 0 an 1 ,b 2 o 1 a1 bn 0
Co 0 0
1
称为能观标准型，且该系统是完全能观的。
证明： 假设下式成立：
0 PAP 1 Ac an 1 1 a1
an 1
那么
0 PA an 1 P 1 a1
an 1
令
P 1 P P 2 Pn
判断下面系统的状态能控性和输出能控性
4 1 1 x' x u 2 3 2 y 1 0 x
判断下面系统的能观测性
0 1 1 2 x' x u 3 4 3 4 1 1 y x 2 2
P 1 0
0 1 b
Ab
A b
n 1
1
若状态空间方程为：
0 2 2 2 x 1 u x' 1 1 2 2 2 1 1 y 1 1 1 x
问系统是否能控？若能控，将其转化为能控标准 型
N为系统状态向量x的维数。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
m为系统输出向量的维数。
能观性判据：当不考虑输入信号时，系统为
x ' Ax y Cx
状态完全能观的充分必要条件是
则
P 0 1A P A 2 Pn A an 1 P 1 P 2 1 a1 Pn
an 1
进一步得：
P 1A P 2
2 P2 A P A P3 1
n 1 Pn 1 A P Pn 1A
判断下面系统的能观测性
0 1 1 2 x' x u 3 4 3 4 1 1 y x 2 2
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
定理 设线性定常系统的状态空间表达式为：
x ' Ax bu y Cx
an 1 ( ) An 1
x(0)
t1 n 1 i 0
0
a ( ) A Bu( )d
i i i t1 0
A B * ai ( )u ( )d
i 0
n 1
令 那么
n 1 i 0
i ai ( )u( )d
0
t1
x(0) Ai Bi B0 AB1 A2 B 2 An 1B n 1
一、线性连续系统的能控性 设线性定常系统的状态空间方程为：
x ' Ax Bu
能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。 能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的时间 区间[t0，tf]内，将系统的任意初始状态转移到状态x(tf)， 那么该系统为完全能控的。若系统的n个状态变量中， 至少有一个状态变量不能控时，则称该系统是状态不 完全能控的。
第三章
线性控制系统的能控性和能观性
一、能控性 二、能观性 三、对偶原理 四、能控标准型和能观标准型 五、结构分解
六、传递函数与能控性和能观性之间的关系
能控性和能观性是现代控制理论中两个重要的基 本概念，它是由Kalman在1960年首先提出的。 现代控制理论中采用的状态方程描述了输入u(t) 引起状态x(t)的变化过程；输出方程描述了状态x(t) 变化引起输出y(t)的变化。能控性和能观性正是分别 分析u(t)对x(t)的控制能力以及y(t)对x(t)的反映能力。 这两个概念是与状态空间表达式对系统分段内部 描述相对应的，是状态空间描述系统所带来的新概念。
x(t1 ) 0 e x(0) e A(t1 ) Bu( )d
At1 0 t1
x(0) e A Bu( )d
0
t1
f () I A n a1 n1 a2 n2
f ( A) An a1 An1 a2 An2 An a1 An1 a2 An2
y(t ) Ce At x(0)
由凯莱-哈密尔顿定理
e i (t ) Ai
At i 0 n 1
y (t ) C i
0 (t ) I 1 (t ) I
C CA x(0) n 1 (t ) I n 1 CA
an1 an 0
an1 A an I 0 an1 A an I
那么
e
A
A2 2 A3 3 I A 2! 3! a0 ( ) I a1 ( ) A a2 ( ) A2 ai ( ) Ai
i 0 n 1
0 bc 0 1
Cc c1 c2
cn
称为能控标准型，且该系统是完全能控的。
定理 设线性定常系统的状态空间表达式为：
x ' Ax bu y Cx
若系统能控,那么就一定存在一个非奇异变换
x Px
将上述系统变换为能控标准型
x ' Ac x bcu y Cc x
Ac PAP1, bc Pb, Cc CP1
其特征多项式为
sI A sn a1sn1 an
变换矩阵P由下式确定：