CFBE D A 平行四边形一、知识梳理1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为 ．例2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．（1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ .例4。

.中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？例5、如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角形共有 （ ）A ．2B ．3对C ．6对D ．8对OFEDC B A 3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等．例6、有以下四个说法：①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长．②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值．③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值．④两条平行线间的距离不是定值其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形的面积：(1)如图①，．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC，则．例7、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10，AD=8，AC BC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积变式训练：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．2、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。

5．平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形例．例8 如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．变式训练：平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形例9如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.变式训练：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BC=AD ，E ，F 为对角线AC 上的点，且AE=CF ，求证：BE=DF ．★3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形例10如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE=21AB ，CF=21CD ，试证明AECF 为平行四边形.变式训练：如图，AD=BC ，∠DAC=∠BCA ，试判断四边形ABCD 是平行四边形吗？请说说你的理由. (7分)★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形例11(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证明四边形DFBE 为平行四边形.变式训练：在四边形ABCD 中，已知∠A=∠C ，∠B=∠D,求证四边形ABCD 为平行四边形。

★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形例12（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．变式训练：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，若OE=OF ， 求证：四边形BFDE 是平行四边形O F E D CB A AC B6.三角形中位线：定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。

例13．如图所示，DE 是△ABC 的中位线，BC=8，则DE=_______．7、平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．基础自测一、相信你的选择(每小题3分,共21分)1．如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是 （ ）．(A)︒=∠+∠18021 (B)︒=∠+∠18032 (C)︒=∠+∠18043 (D)︒=∠+∠18042图1 图22．如图2，在□ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有 （ ）.(A)7 个 (B)8个 (C)9个 (D)11个3．下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 （ ）.(A)AB ∥CD ，AD=BC (B)AB=AD ，CB=CD (C)AB=CD ，AD=BC (D)∠B=∠C ，∠A=∠D 5．如图 3 ,在□ABCD 中, ∠B=110°,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F 的值为 ( ).(A)110° (B)30° (C)50°(D)70°图5图3 图46．如图4，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与OA 相等的其它线段有 （ ）.(A)1条 (B)2条 (C) 3条 (D) 4条7．如图5，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边的中点，则图中的平行四边形一共有（ ）.(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8．（08泰州市）在平面上，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，且满足AB=CD ．有下列四个条件：（1）OB=OC ；（2）AD ∥BC ；（3）BODOCO AO；（4）∠OAD=∠OBC ．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB 成立，这样的条件可以是 A ．（2）、（4） B ．（2） C ．（3）、（4） D ．（4）二、试试你的身手（每小题4分，共24分） 1．在平行四边形ABCD 中，若∠A-∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______， ∠C=_______，∠D=_________．2．在□ABCD 中，AC ⊥BD ，相交于O ，AC=6，BD=8，则AB=________，BC= _________．3．如图6，已知□ABCD 中，AB=4，BC=6，BC 边上的高AE=2，则DC 边上的高AF 的长是________．图6 图74．如图7,△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，且DE=6cm ，则BC=__________． 5．用40cm 长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3：2，则长边是____cm,短边是_____cm.图9 图10 6.如图9,□ABCD 中,DB=DC,∠C=70°,AE ⊥BD 于E,则∠DAC=_____度.7.如图10，E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF 是平行四边形． 三、解答题1.如图11，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，AB=12，求对角线AC 与BD 的和.图112. 如图12,在□ABCD 中,已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上,且AE=CF,连结CE 和AF,试说明四边形AFCE 是平行四边形.图123.如图13 ,□ABCD 中，BD ⊥AB ，AB=12cm ，AC=26cm ，求AD 、BD 长．图134.如图14，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ． 求证：（1）⊿AFD ≌⊿CEB ．（2）四边形ABCD 是平行四边形．家庭作业1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是A ．AC ⊥BDB ．OA=OCC ．AC=BD D ．AO=OD ( )2．如图，平行四边形的周长为cm 28，∆ABC 的周长是cm 22，则AC 的长为 ( ) A ．cm 6 B ．cm 12 C ．cm 4 D ．cm 83．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE 、EC 的长度分别为A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和44．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有 A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．无数种 ( )5．平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是 ( ) A ．4：3：3：4 B ．7：5：5：7 C ．4：3：2：1 D ．7：5：7：56．如图，在平行四边形ABCD 中，延长BA 至E ， 下列各式不一定成立的是 ( )C 第1题ODB AC 第2D B AA ．∠1+∠2=1800B ．∠2+∠3=1800C ．∠3+∠4=1800D ．∠2+∠4=18007．两个全等的不等边三角形，可以拼成（不许重叠）形状不同的平行四边形的个数最多为A ．2B ．3C ．4D ．5 ( )8．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是 A ． 10与16 B ．12与16 C ．20与22 D ．10与40 ( )9．如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于E ，交BC 与F ，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD 的周长是 ( )A ．16B ．14C ．12D ．1010．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点O 在BD 上，则图中面积相等的平行四边形有 ( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 11．在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD 的周长为40，则S 平行四边形ABCD ．12．自平行四边形65 0角的顶点作平行四边形的两条高，则这两条高的夹角为 ． 13．O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，∆ABO 的面积为52cm ，则这个平行四边形的面积为 ．14．如图，等腰∆ABC 中，AB=AC ，AB=8cm ，D 为BC 上任意一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，则平行四边 形AEDF 的周长为 ．15．在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，AB ：BC=1：2，则∠AMD= ．C 第3题 E DB A GC 第10题O D B A E H F C第11题 D B AEF C 第14题D BAE F EC 第6题 1D A 2 4 3 BE C 第9题 O DB A F16．平行四边形ABCD 一个内角平分线把一条边分成cm 4和cm 5两段，则平行四边形ABCD 的周长为 ．17．如图，平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，现要截 取一个直角三角形，使BC 为斜边，且直角顶点E 在 AD 上，则E 为AD 的 ．18．已知，如图，平行四边形ABCD 中，∠BCD 的平分线交AB 于E ，交DA 的延长线于F ，试说明AE=AF ．19．如图，平行四边形ABCD 的相邻边AD ：AB=5：4，过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AE=4cm ，求的长．20．如图所示，平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，AF=AB=BE ，且点E 、F 在直线AB 上，求∠EOF 的度数．21．如图所示，M 、N 分别为平行四边形ABCD 边BC 、CD 上的点，且MN ∥BD ，则∆AND 的面积∆ABM 的面C第17题DABB第18题 C D A E F 19题CDB AE F 第20题 E C D A F O B积怎样？请说明理由．。