相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。
（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。
二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。
（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。
变式练习：1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）A 、有一个角是40°两个等腰三角形B 、两个等腰直角三角形C 、有一个角为100°的两个等腰三角形D 、两个等边三角形例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217,求AD 的长。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ）A 、∠AED=∠B B 、∠ADE=∠C C 、AB AC AE AD = D 、ACAE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM ∽△MCP 。
例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）变式练习：1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ）A 、△ABC 与△A ＇B ＇C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1D 、AB 与A ＇C ＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。
（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接EC ，过点E 作直线EF 交AB 于点F 。
当EF 与CE 满足什么条件时，△AEF 与△DCE 相似？并说明理由。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ）A 、AC AB AB AD = B 、BD AD BC AE = C 、AB AE BC DE =D 、ABAD BC DE =第1题 第2题 第3题2、如图，∠ABD=∠C ，AB=5，AD=3.5，则AC= 。
3、如图，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2。
求证：FD ²=FG ·FE.反馈练习 基础夯实1、如图，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 交AD 于点F ，则图中与△AEF 相似的三角形的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A 、23 B 、67 C 、625 D 、2 3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°,BD 平分∠ABC ，则下列结论：①△ABC ∽△BCD ；②AB ：BC=BC ：CD ；③BC ²=AC ·CD ；④AD ：DC=AB ：BC ，其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如下图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）A 、∠ABD=∠ACB B 、∠ADB=∠ABC C 、AB ²=AD ·AC D 、BCAB AB AD 5、如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC ²=AD ·AB ，则（ ）A 、△ADC ∽△ACB B 、△BDC ∽△BCA C 、△ADC ∽△CDBD 、无相似三角形6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（ ）A 、∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ＇=60°,A ＇B ＇=3cm ，A ＇C ＇=10cmB 、∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°,DE=2cm ，DF=3cmC 、∠C=∠E=30°，AB=8cm ，BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cmD 、∠A=∠A ＇，且AB ·A ＇C ＇=AC ·A ＇B ＇7、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1,BD=4，那么AB= 。
8、如图，在□ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形 。
第7题 第8题 第9题 第10题 第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 。
10、如图，在△ABC 中，D 是ABA 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ACB 相似，应添加的条件是 。
（写出一个即可）11、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列条件中，能证明△ABC 是直角三角形的有 。
①∠A+∠B=90°；②AB ²=AC ²+BC ²；③BDCD AB AC =；④CD ²=AD ·BD 。
12、如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD= 时，图中的两个直角三角形相似。
13、如图，∠1=∠2，∠B=∠D ，AB=DE=5，BC=4。
（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）求AD 的长。
14、如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BDCD CD AD =。
（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小。
15、如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD=260cm ，AB=130cm 。
球目前在点E 的位置，AE=60cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D 的位置。
（1）求证：△BEF ∽△CDF ； （2）求CF 的长。
16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。
能力提升17、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°,∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（）A、b²=acB、b²=ceC、be=acD、bd=ae第17题第18题第19题18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A 出发到点B为止，动点E从点C 出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。
如果两点同时运动，那么当以点A、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ）A 、3秒或4.8秒B 、3秒C 、4.5秒D 、4.5秒或4.8秒19、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=（ ）A 、43B 、54C 、65D 、76 20、如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°,OB=2OA ，点A 在反比例函数x y 1=的图像上，若点B 在反比例函数xk y =的图像上，则k 的值为（ ） A 、-4 B 、4 C 、-2 D 、2第20题 第21题 第22题21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B （0，2），如果点C 在x 轴上（点C 与点A 不重合），当点C 的坐标为 时，使得以点B 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似。
22、已知，如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 上延长线上，且OE=OB ，连接DE 。
求证：（1）DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：△CED ∽△DEB 。
23、如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B 。
（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AD=36，AF=34，求AE 的长。
24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”；（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。
请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。
已知：如图， 。
求证：R t △ABC ∽R t △A ＇B ＇C ＇。
25、如图，E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H 。
（1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长。
思维拓展26、如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。
（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P。
①如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a cm(a>3)。
动点M、N同时从点B出发，分别沿运动，速度是1cm/s。