∞
0
r
1
( a t2
2 Θ + z 2)
Θ+ z 2
dz
( 13)
u p ( r , t) = f (a t- Α x - Βy - Χ z) = f (a t- r n ) ) = f (a t- rco sΕ
( 下转2页)
令 a t-
2 Θ + z 2= Ν
2 则有 Θ + z 2 = a t- Ν ,和 ( a t- Ν ) dΝ dz = 2 2 ( a t- Ν )- Θ
∫ r = 2Π f (a t∫
0
Π
0
) sin Ε rco sΕ dΕ ( 17)
=
2Π [ 5 ( a t + r ) - 5 ( a t- r ) ]
r
其中, 5 ( x ) 是 f ( x ) 的不定积分函数, 即 5 ( x )
=
f ( x ) d x + C. ∫
REPRESENTAT I O NS BET W EEN PLANAR , SPHER ICAL , AND CYL IND R ICAL W AVES
1 Πi
∫
0
(1+ )
co sz t dt 2 t- 1
( 12)
适当改变积分路径也可得到用汉克尔函数表示 的柱面波.
2 柱面波用球面波叠加表示
用出射球面波叠加出柱面波, 如图2 所示. 对不同 z 值的球面波叠加 ∞ f 1 ( a t- r ) u c1 = dz - ∞
图3
∫ f = 2 ∫
4
大 学 物 理 第 16 卷
= Θ . 柱面波则是利用不同方向角 Η的平面 sin Υ
波叠加而成.
, t) = u c (Θ
f [ a t∫
0
Π
) ]d Η - Υ Θ co s ( Η
( 8)
)= Ν 令 a t- Θ - Υ , 则有 co s ( Η
2 )2 Θ - ( a t- Ν , ) ( 9) sin ( Η - Υ ) dΝ = - Θ dco s ( Η - Υ 将上式代入式 ( 8) 计算, 积分限由0 ～ Π变换到 Ν
第 16 卷第 1 期 1997年 1月
大 学 物 理 COLL EGE PH YS ICS
. 16 N o. 1 Vol J an. 1997
平面波、 球面波和柱面波间的表示
奚定平
( 深圳大学应用物理系, 深圳 518060) α 摘 要 讨论了平面波、 球面波和柱面波之间的表示, 并给出明确公式和计算实例. 关键词 波; 叠加; 波动方程 分类号 O 411. 1α2 Nhomakorabea2
收稿日期: 1996- 01- 03, 修回日期: 1996- 05- 02
∃
图1
1 柱面波用平面波叠加表示
r
用一组传播方向垂直于 z 轴的平面波, 可 叠加成柱面波 . 如图1所示, 平面波表示为 u ( x , y , t) = f ( a t- Α x - Βy ) ( 6) )] ( 7) = f [ a t- Θ - Υ co s ( Η 在式 ( 7) 中, 已设 Α = co sΗ , Β= sin Η ,x= Θ ,y co sΥ
2 表平面波传播方向 n 的方向余弦, 并有 Α + Β2 2 + Χ = 1. 在球坐标中, 球面波的表达式为[ 5, 6 ] 1 [ f 1 ( a t - r ) + f 2 ( a t+ r ) ] ( 3) u s ( r, t) =
其中, r = x + y 2 + z 2. 在标坐标中, 柱面波满足的方程由式 ( 1) 改
许多教材介绍了平面波用球面波 ( 球函数) 展开[ 1, 2 ] , 这种方法在散射理论中经常被用到. ) 中, 波矢为 k 的平面波可展成 在球坐标 ( r , Η ,Υ 球函数的级数 e ik・r =
写为
2 92u 1 9u 2 9 u 2 ,Θ = x 2+ y 2 2= a 2+ Θ 9Θ 9t 9Θ 式 ( 4) 给出的柱面波的特解为 ) , t) = A (k ) e - iΞ tJ 0 ( k Θ u c (k , Θ
X i D ingp ing
(A pp lied Physics D ep a rtm en t, Shenzhen U n iversity, Shenzhen, 518060, Ch ina )
Abstract R ep resen ta t ion s betw een the p lana r, sp herica l, and cylind rica l w aves a re descrip t 2 ed, and the exp licit equa t ion s and exam p le a re a lso p resen ted. Key words w aves; sup erpo sit ion; w ave equa t ion
( x ) 分别是零阶贝塞尔函数
) ,Υ Y lm ( Η ) 间 的 夹 角, 其 中, ∆ 是 r ( Η , Υ) 和 k ( Η ′ , Υ ′ ). jl ( k r ) 是 ′ + sin Η ′ - Υ ′ co s∆= co sΗ co sΗ sin Η co s ( Υ
和第一类汉克尔函数, k = Ξ a. 式 ( 5 ) 给出的柱 面波实际是驻波, 其第二项在 Θ 0时发散 .
2
大 学 物 理 第 16 卷
与电子射相结合. 因显微像形成于物镜的物平 面, 衍射花样形成于后焦面, 故二者互成傅里叶 变换关系. 像的分辨率受显微镜分辨本领所限, 而衍射分辨率则不受此限制. 所以衍射花样的 信息量比显微像多. 但前者只能记录下波振幅, 失去了相位. 后者信息量虽较少, 但其信息中却 同时含有振幅与相位 . 于是二者的信息是互补 的 . 高分辨电子显微学与电子衍射相结合的图 像处理方法利用了衍射花样与显微像之间的内
( 4)
6
∞
l i ( 2 l + 1) jl ( k r ) P l (co s∆)
l= 0
+ B (k ) e-
iΞt
= 4Π
6
∞
i jl ( k r )
l
l= 0
m= - l
6
l
(1) ) H 0 (k Θ
( 5)
3 ) ′ ,Υ ′ Y lm ( Η
其中, J 0 ( x ) 和 H
(1) 0
在联系, 及二者信息的互补关系, 取得了很好的 效果 . 参考文献
1 L i F H. Tw o - stage im age p rocessing in h igh reso lu tion electron m icro scop y and electron d iffraction, P roc. 13th In tern Conference on E lectron M icro scop y, Paris, 1990, 1: 481.
1 曾谨言. 量子力学: 下册. 北京: 科学出版社, 1989 2 刘式适, 刘式达. 特殊函数. 北京: 气象出版社, 1988 3 奚定平. 数学物理方程. 广州: 华南理工大学出版社, 1993 4 梁昆淼. 数学物理方法. 北京: 人民教育出版社, 1960 5 杰克逊 J D. 经典力学. 朱培豫译. 北京: 高等教育出版社, 1983 6 奚定平. 杰克逊 J D 经典力学解题指导. 深圳大学学报 ( 增刊) , 1988 7 王竹溪, 郭敦仁. 特殊函数概论. 北京: 科学出版社, 1965. 481 ( 第 36 题中令 Μ = 0. )
∫
) dΝ f 2 (Ν
2 ( a t- Ν ) 2- Θ
a t+ Θ
( 15)
由 a t- Θ到 a t+ Θ , 于是有 Π ) ]Θ f [ a t- Θ co s ( Η - Υ dΗ u c ( Θ , t) 0 Θ a t+ Θ ) dΝ f (Ν = 2 a t- Θ ( )2 Θ - a t- Ν 例 若取平面波为
∫
∫
( 10)
f ( a t- Α x - Βy ) = e
i
Ξ(
a
) a t- x co sΗ - y sin Η
,
求叠加的柱面波. 由式 ( 10) 有
∫ e = e ∫ Θ- Γ dΓ co sk Θ s = 2e ∫ 1- s ds
u c ( Θ , t) =
- iΞt
a t- Θ
( 上接 4 页)
其中, Ε 是 r 与 n 间的夹角. 若假设平面波波面 与 球 面 波 波 面 相 交 的 圆 周 周 长 为 s, 即 s = 2Π , 于是, 用平面波叠加表示的球面波可 r sin Ε 写成 Π u p ( r , t ) sd Ε u s ( r , t) =
4 参考文献
I M AGE PROCESS ING BY COM B IN ING H IGH RESOL UT I ON EL ECTRO N M ICRO SCO PY AND EL ECTRO N D IFFRACT I ON
L i F anghua
( In st itu te of Physics, Ch inese A cadem y of Sciences, B eijing, 100080, Ch ina )
Abstract A n im age p rocessing techn ique to determ ine crysta l st ructu res is in t roduced. It is
ba sed on the com b ina t ion of h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y and elect ron d iffract ion. T he schem a t ica l d iag ram of the m ethod is dem on st ra ted. Key words crysta l st ructu re; elect ron d iffract ion; h igh reso lu t ion elect ron m icro scop y