（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}
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图3-5 例 3-1 有向图
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2020年3月6日11时35分18源自L1 5 0 0 0
L2 4 1 0 0
0

A’=M’’（L）- I =
L3 3 0
L1 1

1
0
0
0
0
L2 2

0
L3 7
1 0 0
0 1 0
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4.绘制多级递阶有向图D（A’）
根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有 向图D（A’），即建立系统要素的递阶结 构模型。绘图一般分为如下三步：
某系统由七个要素（S1，S2，…，S7）组 成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影 响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互 影响。这样，该系统的基本结构可用要 素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中：
S = {S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7} Rb = {（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），
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系统要素Si的可达集R（Si） 、先行集A（Si） 、 共同集C（Si）之间的关系如图3-7所示：
A（Si）
C （Si）
Si
R（Si）
图3-7 可达集、先行集、共同集关系示意图
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④ 起始集B（S）——只影响（到达）其他要素的要素所构成 的集合。
B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入， 是系统的输入要素。其定义式为：
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②去掉M’（L）中已具有邻接二元关系的要素 间的越级二元关系，得到经进一步简化后的新 矩阵M’’（L）。
如在原例的M’（L）中，将 M’（L）中 3→5和7→1的“1”改为“0”，得：
54 31
27
L1 5 1 0 0

L2 4 1
1
0
0

M’’（L）=
L3 3
0
L1 1
（二）建立递阶结构模型的规范方法
建立反映系统问题要素间层次关系的递阶 结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行， 一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩 阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。 这是建立递阶结构模型的基本方法。
现以例3-1所示问题为例说明：
与图3-5对应的可达矩阵（其中将Si简记为i） 为：
缩检共分三步，即：
①检查各层次中的强连接要素，建立可达矩阵M （L）的缩减矩阵M’（L）（区域下三角矩阵）：
54 31
27
L1 5
1
0
0

M’（L）=
L2 4 L3 3
1 1
L1 1

1 1
0 1
1
0


0
0
L2 2

0
L3 7
1
1
0

1
1
1
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及R（bu）、 R（bv）中的要素属同一区域。若对所有 u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。 ② 如果R（bu）∩ R（bv）=ψ，则bu、bv及R（bu）、 R （bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可 被划分为两个相对独立的区域。
区域划分的结果可记为： ∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm （其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区 域划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P））。
1. 分区域从上到下逐级排列系统构成要素。
2. 同级加入被删除的与某要素有强连接关系 的要素，及表征它们相互关系的有向弧。
3. 按A’所示的邻接二元关系，用级间有向弧 连接成有向图D（A’）。
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原例的递阶结构模型：
S1
S5
S2
S4
S7
S3
第1级
S6
第2级
第3级
以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建 立过程：
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2.级位划分
区域内的级位划分，即确定某区域内各要素所处 层次地位的过程。这是建立多级递阶结构模型的 关键工作。 设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用 L（1，其L中2，l为…最，大L级l表位示数从）高，到则低级的位各划级分要的素结集果合可写 成：
∏（P）=L1，L2 ，…，Ll • 某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集
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① 可达集R（Si）——在可达矩阵或有向图中，由 Si可到达的诸要素所构成的集合，其定义式为：
R（Si）= { Sj | Sj∈S，mij = 1，j = 1，
2，…，n }
i = 1，2，…，n
② 先行集A（ Si ）——在可达矩阵或有向图中， 可到达Si的诸要素所构成的集合，其定义式为：
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1.区域划分
区域划分即将系统的构成要素集合S， 分割成关于给定二元关系R的相互独立的区 域的过程。
首先以可达矩阵M为基础，划分与要 素Si（i = 1，2，…，n）相关联的系统要 素的类型，并找出在整个系统（所有要素 集合S）中有明显特征的要素。
有关要素集合的定义如下：

L2 2
L3
7

00 11 11 11
0
31
0 0 0 1
1 1 1
27


0



0
0

1
0
1
1
经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角 矩阵，记为M（L）。
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3.提取骨架矩阵
提取骨架矩阵，是通过对M（L）的缩约和检出， 建立起M（L）的最小实现矩阵，即骨架矩阵A’。
强连接
剔除
去掉
区域
级位
要素
越级
自身
划分
划分
缩减
关系
关系 绘图
M → M（P ）→ M（L）→ M’（L） → M’’（L） → A’→ D（A’）
（块对角） （区域
（区域
块三角） 下三角）
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结束
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“建立递阶结构模型的规范方法”结束
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例3-1
A（Si）= { Sj | Sj∈S，mji = 1，j = 1，
2，…，n }
i = 1，2，…，n
③ 共同集C （ Si ）——R（Si）∩ A（Si） 其定义式为：
C（Si）= { Sj | Sj∈S，mij = 1， mji = 1， j = 1，2，…，n } i = 1，2，…，n
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要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系 统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终 止集E（S）中的要素及其先行集要素 ）能否分割 （是否相对独立）就行了。
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利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下：
在B（S）中任取两个要素bu、bv： ① 如果R（bu）∩ R（bv）≠ψ（ψ为空集），则bu、bv
B（S）= { Si | Si ∈S， C（Si）= A（Si） ，i= 1，2，…，n }
终止集E（S）——只受其他要素影响（到达）的要素所构 成的集合。
E（S）中的要素在有向图中只有箭线流入，而无箭线流出， 是系统的输出要素。其定义式为：
E（S）= { Si | Si ∈S， C（Si）= R（Si） ，i= 1，2，…，n }
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1 2 3 4 56 7
1 1 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0
3 0 0 1 1 1 1 0
M = 4 0 0 0 1 1 1 0
5 0 0 0 0 1 0 0


6 0 0 0 1 1 1 0
7 1 1 0 0 0 0 1
1
1
1
0
0
L2 2

0
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L3 7
1 1 0
0 1 1
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③进一步去掉M’’（L）中自身到达的二元关系， 即减去单位矩阵，将M’’（L）主对角线上的 “1”全变为“0”，得到经简化后具有最小二元 关系个数的骨架矩阵A’。
如对原例有：
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要素。级位划分的基本做法是：找出整个系统要 素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它 们去掉，再求剩余要素集合的最高级要素，依次 类推，直到确定出最低一级要素集合（即Ll）。
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这时的可达矩阵为：
54 6
L1 L2
M（L）= L3
5 1
4
1
6 1
3
1
L1
1