基本不等式
【考点梳理】
1．基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；
(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2
＋b 2
2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为
a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2
4(简记：和定积最大)．
【考点突破】
考点一、配凑法求最值
【例1】(1)若x ＜
54，则f (x )＝4x －2＋145
x -的最大值为________． (2)函数y ＝
x －1
x ＋3＋x －1
的最大值为________.
[答案] (1) 1 (2) 1
5
[解析] (1)因为x ＜5
4
，所以5－4x ＞0，
＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x ＝1
5－4x ，即x ＝1时，等号成立.
故f (x )＝4x －2＋1
4x －5的最大值为1.
(2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2
＋1， 所以y ＝
t
t 2
＋1＋3＋t ＝
t
t 2
＋t ＋4
.
当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝
1
t ＋4t
＋1
， 因为t ＋4
t
≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，
所以y ＝
1t ＋4t
＋1
≤1
5， 即y 的最大值为1
5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】
1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋
1
x －2
(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C
[解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋
1
x －2
＋2≥2（x －2）×
1
x －2
＋2＝4，当
且仅当x －2＝
1
x －2
(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 2．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为________.
[答案] 23＋2
[解析] y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3
x －1
＝（x －1）2
＋2（x －1）＋3
x －1
＝(x －1)＋
3
x －1
＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3
x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.
考点二、常数代换或消元法求最值
【例2】(1)已知x ，y 均为正实数，且
1x ＋2＋1y ＋2＝16
，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20 D ．28 (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. [答案] (1) C (2) 6
[解析] (1)∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16
， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝
⎛⎭⎪
⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4
＝6⎝
⎛⎭
⎪⎫
2＋
x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4 ≥6×⎝
⎛⎭
⎪⎫
2＋2
x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号. ∴x ＋y 的最小值为20. (2)由已知得x ＝9－3y
1＋y .
法一 (消元法)
因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，
所以x ＋3y ＝9－3y
1＋y ＋3y
＝
12
1＋y
＋3(y ＋1)－6≥212
1＋y
·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当12
1＋y ＝3(y ＋1)，
即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，
9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22
，
当且仅当x ＝3y 时等号成立.
设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2
＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6. 故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 【类题通法】
条件最值的求解通常有三种方法：
一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；
二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；
三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】
1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. [答案] 5
[解析] 法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3
5x ＝1，
∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝
⎛⎭
⎪⎫15y ＋35x
＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1
2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.
法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y
5y －1，
∵x >0，y >0，∴y >1
5
，
∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋4
5－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥13
5＋2
3625
＝5，
当且仅当y ＝1
2
时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.
2．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________. [答案] 5＋2 6
[解析] 因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2a
a －3
>0，所以a －3>0，所以a ＋b ＝a ＋
2a a －3＝a －3＋6a －3
＋5≥5＋2（a －3）·
6
a －3
＝5＋26，当且仅当a －3＝6
a －3
，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立. 考点三、基本不等式的实际应用
【例3】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.
[答案] 2 20
[解析] 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝
k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2
x
(k 2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭
⎪⎫5x ＋20x 万元，
∵5x ＋20
x
≥2
5x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20
x
，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为
20万元. 【类题通法】
1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【对点训练】
一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为______m ，宽为________m 时菜园面积最大.
[答案] 15
15
2
[解析] 设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋2y ＝30．
所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.。