P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2



由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e

1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
模型的各数量指标参数如下： 1）在系统里没有顾客的概率 2）平均排队的顾客数
2 Lq n 1Pn nP 1 P0 L n P n L n 1 n 1 n 1
系统容量为N，系统中排队等待的顾客数最多为N-1，所以 在某一时刻某位顾客到达时，如果系统中已有N位顾客，那么 这位顾客被拒绝进入系统，如图2.2
P0
P1 P2
Pn 1
N-1 N
Pn
图2.2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下：
P1 P0 , Pk 1 Pk 1 ( ) Pk , PN PN 1 ,

P0 1


3）在系统里的平均顾客数
Ls nP n k (1 ) (1 ) k Lq n 0 n 0 n 0
n n
2.1 标准的 M / M / 1 模型
4）一位顾客花在系统里的平均逗留时间（当顾客相继到达 的间隔时间服从 的负指数分布，服务时间服从 的负指数 分布时，顾客在系统中的平均逗留时间服从参数为 的 负指数分布.） 1
其中， X——顾客到达间隔时间概率分布 Y——服务时间的概率分布 Z——服务台数 A——系统容量限制，即系统中允许的最多顾客数 B——顾客源总数 C——服务规则
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
表示顾客相继到达间隔时间和服务时间的各种分布 符号有：
M——表示到达过程为泊松过程或负指数分布； D——表示定长输入； Ek——表示k阶爱尔朗分布； G——表示一般相互独立的随机分布.
2.3 顾客源有限的 M / M / 1 / m/m 模型
3）混合制——介于损失制和等待制之间，即既有等待又有损 失.有队列长度有限和排队等待时间有限两种情况，在限度 以ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ就排队等待，超过一定限度就 离去.
排队方式还分为单列、多列和循环队列。
1.2 排队系统的组成
服务台： 1）服务台数量及构成形式——从数量上说，服务台有单服务 台和多服务台之分。从构成形式上看，有单队列单服务台、 单队多服务台并联、多队多服务台并联式、单队多服务台串 联式等. 2） 服务方式——指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服 务和成批服务两种.
2.1.2 模型的数量指标公式 系统在稳定情况下的状态转移如图2.1
P
0
P
1
P
2
P
n 1
P
n
P
n 1
图2.1
在图2.1中，椭圆圈中的数字表示系统的状态（顾客数），箭 头表示从一个状态到另一个状态的转移．当系统处于稳定状 态时，对于每个状态来说，转入率与转出率相等． 可以得到如下平衡方程： Pn1 Pn1 Pn
e
2.3 顾客源有限的 M / M / 1 / m/m 模型
以机器维修问题为例：设有m台机器（顾客总体）,每台机器 单位时间内发生故障的概率 相同（顾客平均到达率），等 待修理及正在修理的机器数为n，工人数为1（单服务台）， 则对系统的有效到达率 e 为 e (m n)
P0
m
1 N 1 N N N 1 1 1 Ls N 2

N 1



1 1
4）平均排队的顾客数
Ls 1 P 0 Lq N N 1 2 N 1
1 1
§1 排队系统综述及常用分布
1.1 排队系统的描述
任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图1.1表示。 每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队 列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选 择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。
图1.1
1.2 排队系统的组成
通常的排队系统可以分为3个组成部分：输入过程、排队 规则和服务台. 输入过程：顾客到达的规律
（2.1） （2.2）
P 1 P 0
2.1 标准的 M / M / 1 模型
由（2.1）和（2.2）可以递推求解，
P P0 1
P2 -
2 P0 (1 ) P ( ) P0 1
n ) P0
......
Pn (
......
P0 1 P 1 n n
1）顾客源 ——可以是有限的，也可以是无限的.
2）顾客到达的方式——描述顾客是怎样来到系统的，是单个 到达还是成批到达.
3）顾客流的概率分布——或称相继顾客到达的时间间隔的分 布，相继到达的时间间隔可以是确定的也可以是随机的， 常见的分布有定长分布、二项分布和负指数分布等.
1.2 排队系统的组成
排队规则：指从队列中挑选顾客进行服务的规律. 1）等待制 —— 当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客 就排队等待，直到接 受完服务才离去。例如出故障的机器 排队等待维修就是这种情况. 2）损失制——当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客 随即离去.
0
p
s
q
w
n
1.5 排队系统的常用分布
1）泊松分布： 泊松过程具有如下性质： (1) 平稳性：在时间 t t 内，到达个顾客的概率只与t和 n 的大小有关，而与时刻起点 t 无关． (2) 独立性：在时间 t t 内到达 n 个顾客的概率与起始时 刻之前到达多少个顾客无关． (3) 普通性：对于充分小的时间间隔 t，在时间 t t 内最 多有一个顾客到达系统．即在时间 t t内有2个或2个以上顾客 Pn t t 0 到达的概率极小，有 lim t 0
n2
可以证明，在长为t的时间内到达个顾客的概率为：
(t ) n t P e n t n! 期望为： En (t ) t
t 0
n 0,1,2,
1.5 排队系统的常用分布
当 t 1 时，即单位时间内到达个顾客的概率为： n
P 1) n P n(
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
顾客到达又能进入系统的概率为 1 PN ，故系统的平均有 效到达率 e 为：
e 1 PN 1 P0
由此， 5）一位顾客花在排队上的平均时间
Ws
e
Ls
Lq
6）一位顾客花在系统里的平均逗留时间 Wq
比如，M／M／c／N／m／FCFS表示相继到达时间间 隔和服务时间为负指数分布，c个服务台，系统容量为N， 顾客源数目为m，采用先到先服务规则的排队模型.
1.4 排队系统主要数量指标和记号
1.在系统里没有顾客的概率，即所有设施空闲的概率，记 为P 2.排队的平均长度，即排队的平均顾客数记为 L 3.在系统里的平均顾客数，包括排队的顾客数和正在被服 务的顾客数，记为 L 4.一位顾客花在排队上的平均时间，记为 W 5.一位顾客花在系统里的平均逗留时间，包括排队时间和 被服务的时间，记为 W s 6.顾客到达系统时，得不到及时的服务，必须排队等待服 务的概率，记为 P 7.系统里正好有n 个顾客（包括排队的和正在被服务的顾客 的概率记为 P
简 介
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤 现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究 各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队 系统的最优设计和最优控制问题。
目录
§1 排队系统综述及常用分布 §2 单服务台 M / M / 1排队模型 §3 多服务台 M / M / C 排队模型 §4 排队系统的优化问题
排队论
Queuing Theory
简 介
排队是日常生活和生产中经常遇到的现象。 顾客到商店购买物品 面对拥挤现象，如果服务设施太少，顾客排队等 病员到医院看病 待的时间就会很长，对顾客会带来不良影响。而随服 旅客到售票处购买车票 务设施增加，人力、物力的支出就越大。 学生去食堂就餐 顾客等待出租车 如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务 通讯卫星与地面若干待传递的信息 设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务 码头的船只等待装卸货物 设施费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研究解决 要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋 的问题。 等等......