第十六章 气体动理论 一、气体动理论的基本概念第十六章 气体动理论一、气体动理论的基本概念A N —阿伏加德罗常数；n —分子数密度(单位体积内的分子数)；ν—摩尔量；()()()2323236.02210 6.02210/ 1.3810/8.31/B A BB NR k N k k mol J K J mol K ν--===⨯=⨯⨯⨯=⋅；0V —1摩尔理想气体的体积(等于22.4L/mol)；0m —每个分子的质量；m =Nm 0—气体的质量；0A M N m =—气体的摩尔质量；V m —摩尔体积；气体动理论：(1).一切宏观物体都是由大量分子组成的，宏观上分子数足够多，因此存在分布问题；微观上足够小，因此可以把每个分子当成质点考虑。

(2).分子永不停息地做无规则运动。

微小颗粒的无规则运动称为布朗运动。

大量的粒子是需要考虑分布的，处理分布问题需要用到统计。

(3).分子间存在相互作用力。

分子力是短程力。

二、气体的状态参量 理想气体状态方程—用热力学看理想气体(I)在不受外界影响的情况下，一个系统经过一定时间以后会达到各处均匀一致的状态，系统地宏观性质不随时间发生变化，这种状态称为平衡状态，简称平衡态。

用来描述系统平衡态宏观性质的物理量称为状态参量。

基本量包括：质量、体积、温度、压力；导出量有内能、比热、声速、热膨胀率等等。

P -V -T 系统物态方程：(,,)0f P V T =玻义耳定律()PVC T=常量—T 不变时，P 和V 几乎成反比。

盖·吕萨克定律 P 不变时，V 与T 几乎成正比。

查理定律 V 不变时，T 与P 几乎成正比。

对于理想气体(气体压强不太大，温度不太低时，严格遵守上述三个实验定律的气体称为理想气体)，常量C 为R ν或B k N 。

求0V ：由000PVPV T T =，标准状态下的压强和温度50 1.01310P Pa =⨯，0273.15T K =，因此0V 是个常量，等于22.4L/mol 。

由m V 0=M V m⇒PV T =m M P 0V mT 0令P 0V m T 0=R ⇒PV =mM RT(1-1)(1-1)式是理想气体的状态方程。

严格遵从气体状态方程PV =νRT 及内能U =U(T)只是温度的单值函数的气体，称为理想气体。

公式变形PV =m M RT ⇒PV =N N A RT ⇒P =N V R N A T =n R N A T =nk B T注：一些宏观物理量的获得—确定平衡态的宏观特性的量称为状态参量1.等压热膨胀率/1pp V V V TV T α∆∂⎛⎫⎛⎫=→⎪ ⎪∆∂⎝⎭⎝⎭ 11RTV R R PV RT V PT P V P Tννννα∂=→=⇒=⇒=∂=由 2.等温压缩系数22/111TV RTp P TT V V V RT P V P V P P ννκκ⎛⎫∂-= ⎪∂⎝⎭∆∂--⎛⎫⎛⎫=→-−−−−−→== ⎪ ⎪∆∂⎝⎭⎝⎭ 3.P 与T 的关系由数学关系式：y y y y zx z z t x t x z z y x y x ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒1T P V TT P V T P V V T P V P ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎪⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21V T PTP P V P R P RT R T T V T RT P T VT V P νανννκ∂∂∂-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-==== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ 4.内能：单凭热力学无法计算内能；据经验，理想气体的内能U 只靠T 变化，故0,0T T U U V P ∂∂⎛⎫⎛⎫= = ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭(1-2) 若把U 变成V 和T 的函数(,)U V T ，则V TU U dU dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭若把U 变成P 和T 的函数(,)U P V ，则P TU U dU dT dP T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭将(1-2)代入以上两式，得V PU dU U dU dT dT dT T dT T ∂∂⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭5.比热,V P V PdQ dQ C C dT dT ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在体系受到热膨胀时，进入体系的热量，一部分用来做功，将外围对体系逞压力的东西推开，若体积增加dV ，须作功PdV 。

剩余部分则用来增加体系的内能。

dQ dU PdV =+V V V VdQ U C dQ C dT PdV dT T ∂⎛⎫⎛⎫==⇒=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭=PV RT PdV VdP RT PdV RT VdP ννν⇒+==-由或()V dQ C R dT VdP ν=+-代入P V C C R ν=+故,PP VC dQ C dT VdP C γ =- =回代常用 对于1mol 理想气体温度升高1K 时，等压过程比等体过程多吸收了8.31J 热量，这一部分热量用来对外做功了。

1212122222()()2V P V molV VP P i d RT dQ U i i C R C C R R dT T dT m m i Q C T T R T T M M ⎛⎫ ⎪∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭==−−−→=⇒=+= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭+⇒=-=- 6.绝热或等熵过程 绝热 0dQ =熵的定义 dQ dS T=因此，绝热过程也可称为等熵过程。

10V V P P PdV C dT C PdV dP dVdQ VdP C dT VdP C P Vγγ=-⎫= ⇒−−−−→=-=-=-⎬ =⎭上下相除 或 积分得'ln ln lnP =V C V C lnPV C PV C γγγγ-+=-+ = =或或 ，由'P CV γ-='1111S ss sP P V C V P V V V P P V V γγγκγ--∂-∂⎛⎫⎛⎫⇒=-=- === ⎪ ⎪∂∂∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪∂⎝⎭或 S κ是绝热压缩系数或等熵压缩系数。

()()2121,()222121210()V m i m m iU RT C T U U R T T M M M V mU U W W U U W C T T M==-=--+=⇒=--−−−−−−−−−−−−→=-- 气体做绝热膨胀对外做功时，它的内能减少，温度降低，而气体作绝热压缩时，外界对气体做功，气体的内能增加，温度升高。

mPV RT M=⇒由 1111,1111211121222()1V P P P V V V V C C C R C C R C C C R V PV m T C PV PV R M W PV PV W PV m R T R M γγγ=+=⇒=+⇒=-⎫=⎪-⎪⇒=-−−−−−−−−−−−→=⎬-⎪=⎪⎭对于绝热过程还有()1110(1)(1)(2)(2)000V V V P V m mE C T dE C dT M MV V C R C C PVV V V P m m PV RT P V R M M mdE PdV C dT PdV MR C m m PV RT PdV VdP RT M M dP dV C VdP C R PdV C VdP C PdV P VPV V T m PV RT M 常量常量γγγγγ--=→=+=÷⎛=⇒= -⎝⎫=-−−−−−−−→+=⎪⎪⨯+⨯⇒⎬⎪=→+=⎪⎭++=−−−−→+=−−−→+=⎫=⎪⇒⇒=⎬=⎪⎭111T P T 常量γγγγ--⎫⎪--⎭−−−−−−−−−−→=7.声速1/SS mmm KP PV RTV T M Mκγγγνρρρ=====∝，其中K 为体积弹性模量，M 为总质量。

三、理想气体的压强公式—用分子运动论看理想气体1.物体的微观模型 四个论点三个假设：(I).分子论点；(II).运动论点；(III).分子力论点。

(IV).分子力论点。

(a).理想气体的分子正如完全弹性的小球，在彼此碰撞中动量守恒且能量守恒； (b).理想气体分子假设为几何点，不占体积； (c).理想气体分子间无引力或斥力。

2.气体压强方程的导出(i).先求1cm 3体积的气体中在某一定方向间隔,d d θθθφφφ→+→+之间的分子数目； (ii).求在此方向间隔中每秒碰撞容器壁O 点的单位面积的分子数目及动量改变； (iii).积分求一切分子的累积作用。

设在容器壁O 点附近有1cm 3空间，内有n 个分子，其中具有1v 速率的1n 个，以1n θφ代表其中在方向间隔,d d θθθφφφ→+→+之间的分子数目。

根据分子各方向运动的机会均等原则，1n θφ与1n 之比等于方向间隔所对应的面积元素与一球面积之比：12111422n Rd Rsin d sin d d n R θφθθϕθθϕππ⋅==每秒在此方向间隔中达到容器壁O 点上的单位面积的分子包括在一斜柱体之中，此斜柱体的中轴与容器壁法线成θ角，长度为1v ，因此斜柱体的体积等于1v cos θ。

由此推出每秒向O 点方向间隔d d θϕ之间的分子为11111122v cos n v cos n sin d d θϕθθθθϕπ=⋅⋅⋅ 分子的每一碰撞给予器壁的动量为012m v cos θ，因此每秒钟在方向间隔d d θϕ之间向O 点运动的分子所给予的动量是：22101111011112222dp m v cos v cos n sin d d n m v cos sin d d θθθθϕθθθϕππ=⋅⋅⋅⋅=⋅ 求一切分子的累积作用：将1dp 积分，ϕ由0至2π，θ由0至2π，即得以速率1v 运动的一切分子所产生的平均压强1p ：2222211101101001123p dp n m v cos sin d d n m v ππθθθϕπ===⎰⎰⎰同理可得：222202330311,,33p n m v p n m v ==()222011223313p m n v n v n v =+++以2v 表示分子速度平方的平均值(方均值)：22221122331()v n v n v n v n=+++2013p nm v ⇒=0nm ρ=213p v ρ⇒=， 22000001133A A A N N n p m v pV N m v V V 或=⇒==当温度一定时，气体分子的平均动能212A N mv 不变。

所以0pV =常数。

对于1摩尔气体：200013pV RT N m v ==。