若常数项b1,b2 ,,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 ,,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a
21 x1 a22 x2 a2n xn b2
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
nn
例1 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 x4 1
x1 2 x2 3 x3 4 x4 5 x1 4 x2 9 x3 16 x4 25
x1 8 x2 27 x3 64x4 125
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
3 x1 x2 x3 0, 2 x2 x3 0,
4
x1
2 x2
1
x3
0,
有非零解？
例3.当k为何值，非齐次线性方程组
kx1 2 x2 x3 x1 2 x2 kx3
1 2
有唯一解。
2 x1 kx2 x3 3
四、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22x2a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理3 如果齐次线性方程组 2的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
解
11 1 1
12 3 4 D
1 4 9 16
1 8 27 64
(4 1)(4 2)(4 3)(3 1)(3 2)(2 1) 12
1 11 1
11 11
5 23 4
D1 25
4
9
12 16
125 8 27 64
,
11 1 1
15 34
D2 1 25
48 9 16
1 125 27 64
“没有非零解”即“只有零解”
定理3 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例2 问 取何值时，齐次方程组
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
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11 1 1
12 5 4
, D3 1 4
25
72 16
1 8 125 64
12 3 5
D4 1
D1 D
1, x2
D2 D
4, x3
D3 D
6, x4
D4 D
4
三、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
第七节 克拉默法则
一、非齐次与齐次线性方程组的概念 二、克拉默法则 三、重要定理 四、小结
一、非齐次与齐次线性方程组的
概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn