得： = ∫ 1
+∞ −∞
1
y=x
∫
+∞
−∞
f ( x, y )dxdy = ∫
1
0 0
∫
y
x
kxydxdy
=∫
k 3 k y dy = ⇒k =8 0 2 8
1 2 0 1− x x
( 2)
P ( X + Y ≤ 1) = ∫ dx ∫
1 2 0
8 xydy = ∫ 4 x[(1 − x) 2 − x 2 ]dx
y x
( 3) P(Y ≤ X ) = ∫
= ∫ 3e
0 ∞ −3 y −2 y
∞
0
∫
∞ y
6e
− (2 x + 3 y )
dxdy =
∫
∞
0
3e −3 y (−e−2 x |∞ )dy y
e
dy =
∫
∞
0
3e
−5 y
3 3 = − e −5 y |∞ = dy 0 5 5
(X,Y)具有概率密度 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 ：设二维随机变量(X,Y) kxy, 0 < x < y <1 y f (x, y) = 他 0, 其 1 (1) 求常数k；(2) 求概率 P(X +Y ≤1) 求常数k +∞ +∞ (1 解：) 利用∫−∞ ∫−∞ f ( x, y)dxdy = 1 0
称 ( X , Y ) 为连续型的二维随机变量 称f ( x, y ) 为二维随机变量 ( X , Y )的概率密度
概率密度的性质：
1. f ( x, y ) ≥ 0 2.
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f ( x, y )dxdy = 1
3. 设G是xoy平面上的区域，点 ( X , Y ) 落在G内的概率为： P (( X , Y ) ∈ G ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy
xi
…
…
… … … …
p2j
pij
… … … …
为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。
…
分布律的性质
1o pij ≥ 0，i, j = 1, 2,L
2
o
∑∑ P
i =1 j =1
∞
∞
ij
=1
例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等 ：设随机变量X 可能地取一个值，另一个随机变量Y 可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可 X 能地取一整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。 (X,Y)的联合概率分布 能地取一整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。
∂ 2 F ( x, y ) 4.在f ( x, y )的连续点(x,y)，有 = f ( x, y ) ∂x∂y
注： ) 在几何上，z = f ( x, y )表示空间一个曲面，介于它和xoy平面 (1 的空间区域的体积为1
G
( 2) P(( X , Y ) ∈ G )等于以G为底，以曲面z = f ( x, y )为顶面的柱体体积。 所以 ( X,Y ) 落在面积为零的区域的概率为零。
第二节 二维离散型随机变量 与二维连续型连续型随机变量
一、二维离散型随机变量 二、二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量
定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不 (X,Y) 同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y) (X,Y)是离散型 同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型 随机变量。 随机变量。
0 0 0 0
3
1 12 1 12 1 12
4
1 16 1 16 1 16 1 维随机变量 ( X , Y )的分布函数F ( x, y ) , 有F ( x, y ) = ∫
y
如果存在非负函数f ( x, y )，使对于任意x, y，
−∞ −∞
∫
x
f (u , v)dudv
解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； X j取不大于i的正整数。 2 1 Y 1 1 ⅛ 1 ¼ P( X = i, Y = j ) = P( X = i ) P(Y = j | X = i ) = ⋅ 4 i ⅛ 2 0 i = 1, 2,3, 4；j ≤ i 即(X,Y)的联合概率分布为： 3 4
∞
∞
解： (1)利用∫
k∫ e
0 ∞ −2 x
－∞ －∞
∫
∞
f ( x, y )dxdy = 1, 得
dx ∫ e −3 y dy = k 6 = 1
0
⇒k =6
6e − (2 x +3 y ) , x > 0，y > 0 f ( x, y ) = 其他 0,
y x 6e − (2u +3v ) dudv, x > 0, y > 0 ( 2 ) F ( x, y) = ∫−∞ ∫−∞ f (u, v)dudv = ∫0 ∫0 0, 其他 x 2e−2u du y 3e−3v dv, x > 0, y > 0 (1 − e −2 x )(1 − e −3 y ), x > 0, y > 0 ∫0 = = ∫0 0, 其他 0, 其他
1 1 1 − = 2 3 6
1 2 0
= ∫ 4 x(1 − 2 x)dx =
离散型随机变量的联合概率分布： X Y y1 x1 p11
设( X ,Y ) 所有可能取值为
y2 … yj … p12 … p1j …
p22
( xi , yi ) , i, j = 1,2,L
x2
p21
…
pi1 pi2
称P ( X = xi , Y = y j ) = pij , i, j = 1, 2,L
(X,Y)具有概率密度 例2：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： ：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
ke−(2x+3y) , x > 0， > 0 y f (x, y) = 其 他 0,
(1) 求 常 数 k ；
(2)
求分布函数 F ( x, y )； ( 3) 求P(Y ≤ X )的概率