为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。
29
p11 p21 p12 p22
p1 j
p2 j
pi1
pi 2
pij
P{ X xi } pij , i 1,2, ;
j1
P{Y y j } pij , j 1,2, .
i 1
30
例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。
13
分布律也可写成以下表格的形式.
X Y
0
1
2
0 1/7 2/7 1/21
1 2/7 4/21 0
2 1/21 0
0
14
(2)
15
四.二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义
对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负 函数f (x, y)，使对(x, y)R2， 其分布函数
则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密 度函数，可记为
9
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解:
10
三.联合分布律
若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij , (i, j＝1, 2, … )，为二维离 散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的 联合分布律. 可记为
36
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
37
3.3 条件分布
问题
38
一.离散型随机变量的条件分布律 设随机变量X与Y的联合分布律为
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， X和Y的边缘分布律分别为
8
(3)右连续 对任意xR, yR,
(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0.
反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都 可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
x\y 1 0

1 1/10 3/10
解：
0 3/10 3/10
x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5
0 3/10 3/10 3/5
p.j 2/5 3/5
故关于X和Y的分布律分别为：
X1 0
Y1 0
P 2/5 3/5
P 2/5 3/5
31
三、边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称
概率论与数理统计
第五讲 二维随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
2
3.1 二维随机变量
图示
3
一、多维随机变量
1.定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维 向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。
27
例1. 已知(X,Y)的分布函数为
求 FX(x) 与 FY(y)。 解：FX(x)=F(x,)=
FY(y)=F(,y)=
28
二、边缘分布律 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称
为(X, Y)关于X的边缘分布律；
39
若对固定的j, p.j>0, 则称
为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 同理，对固定的i, pi. >0, 称
为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律;
40
例1
41
解 由上述分布律的表格可得
42
43
例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0<p<1), 射 击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
26
3.2 边缘分布
一、边缘分布函数
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；
称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低 维分量的分布。
为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称
为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
32
边缘分布函数
33
例3.设(X,Y)的概率密度为
(1)求常数c; (2)求关于X的边缘概率密度fX(x)
和边缘分布函数FX(x) 解: (1)由归一性
34
35
例4. 设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
(x1, y2)
(x2, y2)
(x1, y1)
(x2, y1)
7
分布函数F(x, y)具有如下性质： (1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, 且
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
11
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
Y X
y1 y2 … yj …
x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... p2j ...
... ...
... ... ... ... ... ...
xi
pi1 pi2 ... pij ...
联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j＝1, 2, … ；
(2)
12
例2 袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球. 以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数.
(1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率 解 (1)X所有可能取的不同值为0,1,2; Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。 易见，若 (X, Y) 在区域D上(内) 服从均匀分布, 对 D内任意区域G, 有
21
例4.设(X,Y)服从如图区域D 上的均匀分布，
(1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ； (3)求F(0.5,0.5)
解:
SD 1
22
H
23
(2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
(X, Y)～ f (x, y)， (x, y)R2
16
2、联合密度f(x, y)的性质 (1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性：
反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必 是某个二维连续型随机变量的密度函数。
17
此外，f (x, y)还有下述性质 (3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有 (4)对于任意平面区域G R2,
又知边缘概率密度为
51
例4 解
52
53
多维随机变量
离散型
连续型
边缘分布 条件分布
边缘分布 条件分布
54
作业
p.84 2，9，11
55
实例2 考查某一地 区学前儿童的 发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X、Y 有
关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
5
二. 联合分布函数
设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=P{Xx, Yy}
18
例3. 设 求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3)(X,Y)落在三角形区域 D:x0,y0,2x+3y6 内的概率。
解 (1) 由归一性
19
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。 解
20
3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布* 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
解
44
现在求条件分布律． 由于
45
46
二 连续型随机变量的条件概率密度
定义. 给定y，设对任意固定的正数>0，极限
存在，则称此极限为在条件下X的条件分布函数. 记作
可证当
时
47
若记 fX|Y(x|y) 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则
当
时
类似定义，当
时
48
请同学们思考 答
49
例3
解
50
为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。
几何意义：分布函数F( x0,y0) 表示随机点(X,Y)落在区域
中的概率。如图阴影部分：
6
对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y1<y2 ),则 P{x1<X x2， y1<Yy2 }
＝F(x2, y2)－F(x2, y1)－ F (x1, y2)＋F (x1, y1).