Fs 2 q( x2 a L)
qL
图（a） B M2 x2 Fs2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
M2
1 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
从上面例题的计算过程，可以总结出如下 规律： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面 左侧或右侧梁段上外力的代数和。 左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上 向下的外力将引起正值的剪力；反之，则
x
Fab l
Fa l
x
M
a
F
C
l
b * 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有尖 角转折
A
x Fb l
FS
Fa l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
y
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
2 FA F 3
2 M D FA a Fa 3
同理,对于C左截面： 2 FSC左 FA F 3 2 l 2 M C左＝ F Fl 3 3 9 对于C右截面：
F l 2 FSC右 FA F M C右 FA Fl 3 3 9 FSC左 FSC右 , M C左＝M C右
M2
FS2
FB
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负号也作同样判断。
•
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
A B L
剪力方程 弯矩方程
FS FS ( x)
M M (x)

Fs ( x) qx, (0 x l )
a
F C
l
b
A FAy
x
B FBy
解：1、求支反力
Fb FAy l
Fa FBy l
2、列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用，两端方程不一样，需分两段列出
a
F C
l
b
A FAy AC段 A FAy
x x
B FBy
M(x) FS(x)
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
F (l a) x l
F (l a) l
M FAY x
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： s －剪力， M －弯矩。 F
若研究对象取m - m 截面的右段：
M C
FBY
Y 0, m 0,
C
Fs F FBY 0.
FBY (l x) F (a x) M 0.
(a)集中荷载
F1
集中力
M
(b)分布荷载
q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全
部支反力。
静定梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围 内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是 均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图
b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪
力值是没有意义的。
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
q
A
B
l
FAy x FBy
ql FAy FBy 2
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
q A FA
x
2 x qlx qx 2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
M(x) F x F qx ql qx S A
3、作剪力图和弯矩图
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
[例]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 解（1）确定支座反力（可省略） （2）截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
解: 1、求支反力
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
AX
A BY AY BY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
Fa F (l a) , FAY l l
②求内力
m
FAX A FAY A FAY m x
Fs
F B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Y 0, FAY Fs 0.
m
Fs FAY
C
0,
M FAY x 0.
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
FS1 FA F 7kN M 1 FA 2 F (2 1.5) 26 kN m
FA
M1
FS1
3、计算2-2截面的内力
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN M 2 FB 1.5 q 1.5 1.5 30 kN m 2
qL
2
1
1 a 2 b
图（a） qL A M1 x1 Fs1
F
y
0 qL Fs1 0
Fs1 qL
m
A
( Fi ) 0 qLx1 M 1 0
M 1 qLx1
图（b）
2--2截面处截取的分离体如图（c）
qL
2 1 1 a 2 b
F
y
0
qL Fs 2 q ( x2 a ) 0
q l
A FS ql 2
ql B FS x 2 qx qlx qx 2 M x 2 2
FS,max
ql 2
M max
M
l/2
ql 8
2
由剪力图与弯矩图可知，在靠近、支座的横截面上剪力的绝对值最大， 在梁的中央截面上，剪力为0，弯矩最大
ql2 8
例6.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
CB段 B FBy
Fa FS x FBy a x l M(x) l Fa M x FBy (l x) l x l FS(x) a x l
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FAy
FS
Fb l
Fb FS1 x l Fa B FS2 x l FBy Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别为剪力图和弯矩图
x
O FS 图的坐标系
x
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在 x 轴下侧（受拉侧）,负值画在x 轴上侧 符号可以不表示
O M(x)
M 图的坐标系
FS(x)
例6.3 图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试作梁的剪 力图和弯矩图。
1.剪力符号
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
+
m
FS
FS
m
dx
-
m
FS
m dx
2.弯矩符号
+
M m
RA
M
NB
弯曲实例
起重机大梁
1
镗刀杆
车削工件
火车轮轴
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内 ，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向 对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠 曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯 曲。
引起负值的剪力。
•“左上右下”为正 •（左右段上的外力）
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁 段上外力对该截面形心的力矩之代数和。
“左顺右逆”为正（左右段上的外力）
•截面左侧梁上的外力对该截面形心的 矩为顺时针转向(或右侧梁上的外力对 该截面形心的矩为逆时针转向)为正， 反之为负。
剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和
第六章 弯曲内力
§6-1 概述 §6-2 剪力和弯矩
§6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§6-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
§6-5 平面刚架与曲梁内力
§6-1 概述
一、弯曲变形的概念
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 P q 主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。