第4.4节 非齐次线性方程 4.4节 组解的结构
(1)矩阵等价和向量组等价是不同的. 不同之处在于： (1)矩阵等价和向量组等价是不同的. 不同之处在于： 矩阵等价和向量组等价是不同的 首先，不是每个向量都可以表示成有限维行向量或者列向量， 首先，不是每个向量都可以表示成有限维行向量或者列向量， 所以，不是每个向量组都和有限阶矩阵相联系。 所以，不是每个向量组都和有限阶矩阵相联系。 其次，即使可以表示成矩阵的向量组，也是有区别的，例如： 其次，即使可以表示成矩阵的向量组，也是有区别的，例如： ）（2 这个向量组和向量组（ ），（0 （1，0）（2，0）这个向量组和向量组（0，1），（0，2）当 然是不等价的，因为他们无法互相线性表示。可是作为矩阵， 然是不等价的，因为他们无法互相线性表示。可是作为矩阵， 这两个矩阵是等价的，因为秩相等。 这两个矩阵是等价的，因为秩相等。 （书上90页第2题） 书上90页第2 90页第 最后，我们可以归纳一下：矩阵等价， 最后，我们可以归纳一下：矩阵等价，则无论是行向量组还是列 向量组都未必等价；相同个数的向量组等价( 向量组都未必等价；相同个数的向量组等价(显然向量的维数 相同) 则由它们组成的矩阵(显然是同型矩阵)等价。 相同)，则由它们组成的矩阵(显然是同型矩阵)等价。
由R( A) = R( B ),知方程组有解 . 又R( A) = 2, n − r = 3, 知方程组有解
所以方程组有无穷多解. 所以方程组有无穷多解 且原方程组等价于方程组
x1 + x2 = − x3 − x4 − x5 + 7 2 x2 = x3 + 2 x4 + 6 x5 − 23
.
故原方程组通解为
x=k1α1+ k2α2+α0 .
1 0 0 0
− 1 − 4 1 0 − 4 − 4 − 1 0 − 1 41 33 − 3 0 0 0 0 0 2
3 −1
注：为便于求解一般是将增广矩阵化为每一行第一个非 零元为单位且其上方元素全为零的阶梯矩阵. 零元为单位且其上方元素全为零的阶梯矩阵. 例如上例 实行初等行变换. 中继续对 A 实行初等行变换.
此时，解非常容易求. 此时，解非常容易求.
例2 求下述方程组的解
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 , 3 x + x + 2 x + x − 3 x = − 2, 1 2 3 4 5 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23, 8 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 − x 5 = 12.
1 0 A→ 0 0
− 1 − 4 1 0 − 4 − 4 − 1 0 − 1 41 33 − 3 0 0 0 0 0 2
3 −1
1 0 A→ 0 0
− 1 − 4 1 0 − 4 − 4 − 1 0 − 1 41 33 − 3 0 0 0 0 0 2
由 由 x的任意性 ,当x取遍Ax = b的一切解时 , 得到 x − η 是Ax = 0的通解 , 从而有 k1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + L + k n − r ξ n − r = x − η
即Ax = b的通解为 : x = k1ξ1 + k2ξ 2 + L + kn− rξ n− r + η
一、非齐次线性方程组解的性质
设 m × n型非齐次线性方程组 Am×n xn×1 = bm×1
若令b = 0, 则得到相应的齐次线性 方程组 Ax = 0, 称
Ax = 0为非齐次线性方程组 Ax = b的 导出方程组
１．非齐次线性方程组解的性质 定理4.5: (1) 定理 设x = η1及x = η 2都是Ax = b的解 , 则x = η1 − η 2为对应的齐次方程 Ax = 0的解 . 证明
注:
与方程组 Ax = b有解等价的命题 线性方程组 Ax = b 有解 向量 b能由 A 的列向量组 α 1 , α 2 ,L , α n线性表示 ; 向量组 α1 ,α 2 ,L ,α n与向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α n , b等价;
⇔
⇔ ⇔
矩阵A = (α1 ,α 2 ,L ,α n )与矩阵 B = (α1 ,α 2 ,L ,α n , b ) 的秩相等 .
取
x4 0 = x 1 5
得基础解系
x1 = 22, x2 = 4, x3 = 33.
27 4 α1 = 41 , 1 0
22 4 α 2 = 33 . 0 1
−39 −4 −41 0 −34 −4 −33 0 −1 −1 3 0
3 −1
1 0 0 0
3 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
3 1 0 0
0 0 1 0
−39 −4 −41 0 1 0 0 0
−34 −4 −33 0 0 1 0 0 0 0 1 0
−1 −1 3 0 −27 −4 −41 0 −22 −4 −33 0 2 −1 3 0
1 3 B= 0 8 1 1 1 7 1 2 1 − 3 − 2 2 1 2 6 23 3 4 3 − 1 12 1
解
1 1 1 7 1 1 0 − 2 − 1 − 2 − 6 − 23 ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
例1
求解
x1+3 x2−x3+2x4 −x5= −4， −3x1+x2 +2x3 −5x4 −4x5 = −1， 2x1−3x2−x3 −x4 +x5=4， −4x1+16 x2+x3 +3x4 −9x5= −21.
解：
3 − 1 2 − 1M − 4 1 − 3 1 2 − 5 − 4M − 1 A= 2 − 3 −1 −1 1 M 4 − 4 16 1 3 − 9 M − 21
依次得
x1 − 1 = x2 − 1
2 , 2
0 , − 1
2 . − 3
故得基础解系
− 1 2 0 2 − 1 2 − 1 − 3 ξ1 = 1 , ξ 2 = 0 , ξ 3 = 0 . 0 1 0 0 0 1 求特解 令 x3 = x4 = x5 = 0, 得x1 = − 9 , x2 = 23 . 2 2
Q Aη1 = b, Aη 2 = b ∴ A(η1 − η 2 ) = b − b = 0.
即 x = η1 − η 2满足方程 Ax = 0.
( 2) 设 x = η 是方程 Ax = b的解 , x = ξ 是方程 Ax = 0的解 , 则 x = ξ + η 仍是方程 Ax = b 的解 .
证明
A(ξ + η ) = Aξ + Aη = 0 + b = b,
证毕． 证毕．
所以 x = ξ + η 是方程 Ax = b的解.
注意: 注意 Ax = b的两个解之和 ( X 1 + X 2 ), 由于 A( X 1 +
X 2 ) = 2b ≠ b( b ≠ 0), 从而 ( X 1 + X 2 )不再是方程组的解
求基础解系
令
x3 1 x4 = 0 , x 0 5
0 1 , 0
0 0 . 1
x1 + x2 = − x3 − x4 − x5 代入 2 x 2 = x 3 + 2 x4 + 6 x5
即非齐次线性方程组的解集合不是向量空间
二、非齐次线性方程组的通解
定理4.6 定理 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的通解与 Ax = b 的一个特解之和 即设 ξ1, ξ 2, …, ξ n−r为 Ax = 0 之 的一个特解之和. − 基础解系. 之特解. 基础解系 η为 Ax = b 之特解 则 Ax = b 的通解可表为 k1 ξ 1+…+ kn−r ξ n−r+ η. − − 证明: 证明: 任何一个解 设x是非齐次线性方程组 Ax = b 的任何一个解, 是非齐次线性方程组 则由定理4.5, x -η为导出组 Ax = 0 的解 的解. 则由定理
比较: 比较:线性方程组的两种解法
（1）应用克莱姆法则 特点：只适用于系数矩阵为方阵 且系数行列式不 特点：只适用于系数矩阵为方阵,且系数行列式不 等于零的情形，计算量大，容易出错， 等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论 价值，可用来证明很多命题． 价值，可用来证明很多命题． 证明很多命题 （2）利用初等变换 特点：适用于方程组有唯一解、 特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多 解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行， 解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行， 计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法． 计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法． 计算方法
3 − 1 2 − 1M − 4 1 − 3 1 2 − 5 − 4M − 1 A= 2 − 3 −1 −1 1 M 4 − 4 16 1 3 − 9M − 21
1 3 − 1 2 − 1 − 4 0 1 0 − 4 − 4 −1 0 − 9 1 − 5 3 12 0 10 − 1 1 − 7 − 13
所以方程组的通解为
− 1 2 0 2 − 9 2 − 1 2 − 1 − 3 23 2 x = k1 1 + k2 0 + k3 0 + 0 . 0 0 0 0 0 0 1 0