p f l q b A A A微分中值定理教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。

3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。

3、利用导数证明不等式的技巧。

【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。

这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。

但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

理的内容：若函数)(x f 满足下列条件：①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。

b 、若加上)()(b f a f =，则()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。

c 、形象认识（几何意义），易知()()ab a f b f --为过A 、斜率，)('c f 为曲线)(x f 上过c 点的切线的斜率；若c f =)('切线的斜率。

几何意义：若在闭区间[]b a ,则曲线上至少有一点))(,(c f c C ，使得过点C 的切线平行于割线AB 。

它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。

”2.2 拉格朗日定理的证明下面我们证明一下该定理。

分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x ϕ，使他满足罗尔定理的条件。

注意罗尔定理的结果是0)('=c f ，对应拉格朗日定理的结果是()()a b a f b f c f --=)('，即()()0)('=---ab a f b fc f ，实际上就是0)('=c ϕ，即是说()()a b a f b f c f c ---=)()(''ϕ，两边积分得()()()C x ab a f b f x f x +---=)(ϕ，注意)(x ϕ要满足罗尔定理的三个条件，故取()()()()()][)(a x ab a f b f a f x f x ---+-=ϕ证明：作辅助函数()()()()()][)(a x a b a f b f a f x f x ---+-=ϕ，易知)(x ϕ在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,可导，又)()(b a ϕϕ=，根据罗尔定理，)(x ϕ在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c ϕ，而()()a b a f b f x f x ---=)()(''ϕ，于是()()0)()(''=---=ab a f b fc f c ϕ，即 ()()ab a f b fc f --=)('，命题得证。

注：a 、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数()()()()()][)(a x ab a f b f a f x f x ---+-=ϕ中的()()()()a x ab a f b f a f ---+其实就是过两点A 、B 两点的割线方程。

b 、拉格朗日中值定理的中值点c 是开区间（a,b ）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。

换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c 的存在性，而非”定量“地指明c 的具体数值。

c 、拉格朗日中值定理的其他表达形式： （1）.).)(()()(时也成立当b a a b f a f b f >-'=-ξ （2）x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ 之间和在x x x +∆ξ2.3 拉格朗日定理的应用例1: 验证函数()f x =3x -3x 在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的ξ的值.解:因 3() =3f x x x -，在[]0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。

而2()=33f x x '-由()()()02)(02'-=-ξf f f 得231ξ-=3，3ξ=注 在验证拉格朗日中值定理时，必须注意： （1）该函数是否满足定理的两个条件。

（2）是否存在一点ξ∈（a,b ）,使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立. 例2 .)1ln(1,0x x xxx <+<+>时证明当 分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。

证明：设()()x x f +=1ln易知()x f 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件 故，()()()()()x x f f x f <<-=-ξξ0,00' 又，()()xx f f +==11,00'，有上式得： ()ξ+=+11ln x x 又，111111110<+<+⇒+<+<⇒<<ξξξx x x 则，x x x x <+<+ξ11 ，即 x x xx <+<+)1ln(1，命题得证。

小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。

便得到)( ))(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ，再根据b a <<ξ放大或缩小)(ξf '，证出不等式。

推论1 如果()f x 在区间(,)a b 内的导数恒等于零，那么()f x 在(,)a b 内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）证：在区间(,)a b 内任意取两点1x ，2x （设12x x <），则()f x 在[]12,x x 上满足拉格朗日中值定理条件.故有()2121()()()f x f x x x f c '-=-⋅ 12()x c x <<，由于()0f c '=，所以21()()0f x f x -=，即21()()f x f x =.由于1x ，2x 是在(,)a b 内任意取的两点，因此()f x 在区间(,)a b 内函数值总是相等的，这表明()f x 在区间(,)a b 内恒为一个常数.推论2 若(,)x a b ∀∈有()()f x g x ''=，则(,)x a b ∀∈有()()f x g x c =+.（证明作为课外作业）证：(,)x a b ∀∈，[]()()()()0f x g x f x g x '''-=-=，根据推论1知()()f x g x c -=，即()()f x g x c =+.三、小结1、拉格朗日定理的内容2、拉格朗日定理的几何意义3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法4、拉格朗日定理的应用微分学基本定理1、极值点的概念定义：设函数)(x f 在区间I 上有定义。

若I x ∈0，且存在0x 的某邻域,)(0I x U ⊂)(0x U x ∈∀，有()()0x f x f ≤ （()()0x f x f ≥）则称0x 是函数)(x f 的极大点（极小点），()0x f 是函数)(x f 的极大值（极小值）。

2、费马定理设函数)(x f 在区间I 上有定义。

若函数)(x f 在0x 点可导，且0x 是函数)(x f 的极值点，则 0)(0'=x f3、罗尔定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f4、拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 5、柯西中值定理若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续②在开区间()b a ,可导，且),(b a x ∈∀，有0)('≠x g ，则在()b a ,内至少存在一点c ，使得()()()()()()a g b g a f b f c g c f --=''。