拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
时 所 求 得 的 点 总 是 位 于 区 间 的 正 中 间 .
三 、 证 明 等 式 arcsin ( x (0,1) ) .
1 x 2 arctan
x 1 x2 2
四、设a b 0，n 1 ，证明
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) （1）在闭区间[a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导, 那末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f '( )(b a)
成立. 注意 :与罗尔定理去 相掉 比f(了 a 条 )f件 (b)中 .
nb n1 (a b ) a n b n na n1 (a b ) .
五、证明下列不等式：
1、 arctan a arctan b a b ； 2、当 x 1时 ， e x ex .
六、设函数 y f (x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试 用 柯 西 中 值 定 理
f ( x ) f ( ), f( x ) f( ) 0 ,
若x0, 则f有 ( x)f()0; x
若x0, 则f有 ( x)f()0; x
f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ; f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ; f()存,在 f ( )f ( ). f()0.
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)满足以下条件 （1）在闭区间 [a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导, （3）且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b), 那 末 在 (a, b) 内 至 少 有 一 点 (a b) , 使 得 函 数 f ( x)在该点的导数等于零，即
x x x, 1x 1
即x ln1 (x)x. 1x
三、柯西(Cauchy)中值定理[ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3) 在开区间 ( a , b ) 内 g(x)0
则至少存在一点 (a,b), 使
f(b) f(a) f() g(b)g(a) g() .
证 设 f(x )x 5 5 x 1 , 则f(x)在 [0,1]连,续
且 f(0 ) 1 ,f( 1 ) 3 . 由零点存在定理 x 0 ( 0 ,1 )使 ,f( x 0 ) 0 .即为方程的小于1的正实根. 设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0.
f(x)在x0,x1之间满足罗 件 ,尔定理的
证 设 f( x ) ar x a cs r x ,ic x n [ c 1 ,1 ] os
f(x)1 1x2(1 1x2)0.(x(1,1))
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ] 又 f( 0 ) ar 0 a cs r 0 ic 0 n c o , s
22 即C .
件f(a)=f(b)不满足了.
C
yf(x) B
但是过C点的切线还 A
是平行于弦AB.
o a 1
D
2b x
过C点的切线平行于 弦AB.
弦AB的斜率为
y
C
A
o a 1
f(b) f(a) kAB ba .
过C点的切线斜率为导数 f ( )
故有：
f()
f(b)f(a) .
ba
yf(x) B
D
2b x
于是有拉格朗日(Lagrange)中值定理
证 分析: 结论可变形为
f(1)f(0)f()
10
2
f (x) (x2 )
x .
设g(x)x2,
则f(x),g(x)在[0,1]上满足柯西中条 值件 ,定理的
在(0,1)内至少存在 ,有 一点
f(1)f(0)f()
10
2
即 f( ) 2 [f( 1 ) f( 0 )].
小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f(a)f(b) Lagrange F(x)x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可.
思考题解答
x2, 0x1 f1(x)3, x1
不满足在闭区间上连续的条件；
f2(x)1 x, x[a,b] 且 ab0
证明：
f (x)
xn
f ( n ) ( x ) ，（ 0 n!
1） .
七 、 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 内 上 连 续 ， 在 (a , b ) 内 可 导 ， 若
0 a b , 则 在 ( a , b ) 内 存 在 一点 ， 使
af (b ) bf (a ) [ f ( ) f ( )]( a b ) ] .
第三章 微分中值定理与导数的应用
➢第一节 ➢第二节 ➢第三节 ➢第四节 ➢第五节 ➢第六节 ➢第七节
微分中值定理 洛必塔法则 函数单调性的判定法 函数的极值与最大(小)值 曲线的凹凸性、拐点 函数图形的描绘 导数在经济分析中的应用
第一节 微分中值定理
➢一、罗尔(Rolle)定理 ➢二、拉格朗日中值定理 ➢三、柯西中值定理
例3 证x 明 0 时 , 当 x ln 1 x ( ) x . 1 x
分析 上述不等式可以写成：
x0ln(1x)ln(10)x0. 1x
它是函数y=ln(1+x)的点０和点x函数值差 与x-0的一个不等式关系
所以可以考虑函数f(x)=ln(1+x)和区间[0,x]
例3 证x 明 0 时 , 当 x ln 1 x ( ) x . 1 x
增量y的精确表达 . 式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论 如果函 f(x)数 在区 I上 间的导数 , 恒 那末 f(x)在区 I上 间是一.个常数
证明 对任意的 x1, x2 ，I不妨设 x1 x2
2 arcxsa inrcxc o.s
2
利用拉氏定理证明不等式：
对于中值公式： f(b)f(a) f()
ba
如果能够估计导数 f ( ) 的大小，比如
mf()M
则有
m f(b)f(a)M ba
上述不等式是一个关于函数在a，b两点的函 数值之差与自变量之差的关系的不等式。
所以当遇到此类不等式的证明时，可 以考虑使用拉格朗日中值定理证明。
证 作辅助函数
(x)f(x)f(a )f(b )f(a )[g (x) g (a )].
g (b ) g (a )
(x)满足罗尔定理的条, 件 则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 ()一 0. 点
即f()f(b)f(a)g()0,
g(b)g(a)
f(b)f(a) g(b)g(a)
gf(()).
证 设 f(x )ln 1x (),
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的, 条件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ( ) ( 0 , x )
f(0)0,f(x) 1 ,由上式得 1x
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1x 1 1 1,
1x 1
不满足在开区间内可微的条件；
以上两个都可说明问题.
练习题
一、 填空题： 1、函数 f ( x) x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间 I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间 I 上是一个常数.