Q qdA
A
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Electrical Analogy

For previous case, heat flux and heat rate
q

L
(tw,1 tw, 2 )
Q
A
L
(tw,1 tw, 2 )
tw,1 tw, 2 L / A
By analogy to Ohm’s law for electrical circuits(tw,Biblioteka tw, 2 )6/86
Spherical Shell (r1≤r≤r2)
1-D, SS, no generation, heat equation
1 d 2 dt r 0 2 dr r dr
◆ B. C’s
t r r t w,1
1
t r r tw, 2
Fourier’s Law
q
r (1 / r1 ) (1 / r2 )
2

(tw,1 tw, 2 )
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讨论：
1. 温度分布: 在大平板内，温度分布呈线 性，等温面为与表面平行的 一簇平面； 在长圆筒壁内，温度分布呈 对数曲线，等温面为一簇同 心圆柱面； 在球壁内，温度分布呈双曲 线分布，等温面为一簇同心 球面；

Simplest Case: One-Dimensional, Steady-State Conduction
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with No Thermal Energy Generation.
§2-1 一维稳态导热
一. 典型一维稳态导热
无内热源 qv=0 温度只随一个坐标方向变化的稳态导热称为一维稳态导热
1 d dt r 0 r dr dr
◆ B. C’s
t r r t w,1
1
t r r tw, 2
2
Temperature distribution for constant

◆Integrate twice,
t (r ) C1 ln r C2
Common Geometries:

The Plane Wall: Described in rectangular (x) coordinate. Area perpendicular to direction of heat transfer is constant The Tube Wall: Radial conduction through tube wall. The Spherical Shell: Radial conduction through shell wall.
V I R
tw,1 t w, 2 t Q L / A R
R
L A
R-------Conductive thermal resistance
各种转移过程的共同规律: 过程中的转移量与过 程的动力成正比,与过程的阻力成反比。
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Similarly, for a convective surface,
Fourier’s Law
q

L
(tw,1 t w, 2 )
温度分布呈线性
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Cylindrical wall (r1≤r≤r2)
1-D, SS, no generation, heat equation
c p
t v t t 1 t 1 t t t u w qv Φ r 2 r r z r r r r z z
动力工程及工程热物理硕士研究生学位课程
高 等 传 热 学
第二章 稳态导热问题的分析解法
主讲: 朱 恂 教授
E-mail: zhuxun@ Tel: 65102474 Office: SPE-421
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Content
§2-1 一维稳态导热
一、典型一维稳态导热 二、运动物体内的一维稳态导热 三、变导热系数的处理
d dt 0 dx dx
B. C’s
t x0 tw,1
t x L t w, 2
For constant , solution is,
x t t w,1 (t w, 2 t w,1 ) L t t w, 2 x 1 t w,1 t w, 2 L
Define a dimensionless number, Biot number
R hL Bi Rc
Bi :
Bi 0 :
Bi 1 :
h
tw t f
t w,1 tw, 2 0 t w,1 t w, 2 (t f ,1 t f , 2 ) / 2
dt h1 t f 1 t w1 ; dx x 0
2
Temperature distribution for constant 温度分布呈双曲线分布
1 (r1 / r ) t t w,1 (t w,1 t w, 2 ) 1 ( r1 / r2 ) t t w, 2 1 / r1 1 / r 1 t w,1 t w, 2 1 / r1 1 / r2
§2-2 扩展表面传热
一、基本概念 二、矩形直肋 三、三角形直肋 四、等厚度环肋
§2-3 渗透性平板内的热传导
一、无内热源多孔平板 二、有内热源多孔平板
§2-4 多维稳态导热
一、无内热源二维矩形区域稳态导热 二、有内热源二维矩形区域稳态导热 三、无内热源二维（半）无限大区域稳态导热
§2-5 导热形状因子
t t w, 2 1 / r1 1 / r 1 , t w,1 t w, 2 1 / r1 1 / r2
q
q
q

L
t
w ,1
t w, 2
r ln r2 / r1


t
w,1
tw, 2
t w, 2
r 2 1 / r1 1 / r2

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The Plane Wall (0≤x≤L)
1-D, SS, no generation,
c p
t t t t t t t qv Φ u v w x y z x x y y z z
■ Overall heat transfer coefficient
Q kAt
k 1 Rtot A
Rtot Ri
i 1 n
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5. 对于多层壁，其总传热量可按下式计算： n层平板：
Q
Q t1 tn 1
i 1
Li / i Ai
n
t f ,1 t f , 2 1 /( h1 A1 ) Li / i Ai 1 /( h2 A2 )
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§2-1 一维稳态导热
一. 典型一维稳态导热
无内热源 qv=0 温度只随一个坐标方向变化的稳态导热称为一维稳态导热
Methodology for conduction
1. Specify appropriate form of the heat equation and boundary conditions. 2. Solve for the temperature distribution. 3. Apply Fourier’s Law to determine the heat flux.
图2-1 三种典型一维稳态导热温度分布
这种温度分布的差异是由于导热面积沿热流 方向不断变化所引起的
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大平板： 长圆筒壁： 球壁：
t t w, 2 x 1 , tw,1 tw, 2 L
t tw, 2 ln r / r1 1 , tw,1 tw, 2 ln r2 / r1
d dt qv dx dx
Constant
qv d 2t dx 2
连续积分两次得温度分布的通解为： qv 2 t x c1 x c2 2 ■ 若平板两侧为对称冷却，即边界条件：
x 0, dt dx ht f t w1 ;
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h~
t f ,1 t w,1 t w, 2 t f , 2
Overall transfer coefficient, k
■ Composite wall, negligible contact resistance
Rtot 1 1 LA LB LC 1 Rtot A h1 A B C h2 Q t f ,1 t f , 2
x 0
x L,

dt dx
ht w 2 t f
xL
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利用此两边界条件，可定出两个积分常数c1和c2，最 终可得平板内的温度分布为
qv L2 / 2 t tf x x 1 1 L L Bi
■ 当平板两侧为非对称冷却时，则
x 0,
规定：发热源qv为正，吸热源qv为负。 qv=f (x, y, z, )
(1) 大平板
对于qv=常数的情形，导热方程:
c p
t t t t t t t qv Φ u v w x y z x x y y z z
tf, 1
1 h1 A
ts,1
L A
ts,2
1 h2 A
tf, 2
And, the heat transfer relation is given by,