1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。

解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ∙∙∙∙=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-∙ （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθd r rd t Tk q rr sin ⋅∂∂-= ϕθθθθd r dr T r k q sin ⋅∂∂-= （1-3）θϕθϕϕrd dr Tr k q ⋅∂∂-=sin将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d rd dr Tr k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k p r ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6）2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。

试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。

解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x（2-1）解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222I I II I II h y L y y y x x y x θθλθθθδθθθθ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂∏∏∏∏∏∏∏∏0000002222θθλθθδθθθθh y L y y y x x y x （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dy Y d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。

由此得到一个待定常数的两个常微分方程001221212212=+=-Y dyY d X dxX d εε （2-3） 解得)()()(1x Bsh x Ach x X εε+= （2-4） )sin()cos()(1y D y C y Y εε+= （2-5） 把边界条件0,0=∂∂=yy Iθ代入（2-3-4）得到A=0，所以有 )()(1x Bsh x X ε= （2-6） 把边界条件0,=∂∂=yL y Iθ代入（2-3-5）得到D=0，所以有 )cos()(1y C y Y ε= （2-7） 把边界条件0,=+∂∂=I Ih yL y θθλ联立（2-3-7）得到 λεε/)cot(hL LL =（2-8）设Bi hL L ==λβε/,，则有i B /)cot(ββ=，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1( =n n β，所以对应无穷多个ε，即)3,2,1( =n n ε，所以有 )cos()(1y C y Y n n ε= （2-9） 联立（2-3-6）可得∑∞==1)()cos(),(n n n n I x sh y K y x εεθ （2-10）把边界条件2,θθδ==I x 代入上式可得 ⎰⎰=Ln n n Ln dy y sh K dy y 0202)(cos )()cos(εδεεθ （2-11）解得])cos())[sin(/()sin(22n n n n n n L sh K βββδββθ+= （2-12）其中L n n εβ=)()c o s (])c o s ())[s i n (/()s i n (2),(12x L sh y L L sh y x n n n n n n n n I βββββδββθθ∑∞=+= （2-13）（3）求解温度场∏θ与解I θ一样用分离变量法，假设所求温度分布),(y x ∏θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积)()(),(22x Y x X y x =∏θ （2-14）将该式子代入∏θ的导热微分方程中得到022222222=+X dy Y d Y dx X d ，即22''22''2ε=-=Y Y X X ，由此可得到两个常微分方程02222=-X dx X d ε （2-15） 022222=+Y dyY d ε （2-16） 解式（2-3-15）时根据x 的边界条件可以把解的形式写为)]([)]([)(2x Bsh x Ach x X -+-=δεδε （2-17） 把边界条件0,==∏θδx 代入上式，得到A=0，所以有)]([)(2x Bsh x X -=δε （2-18） 其中i n n n n B L /)cot(,βββε==)]([)cos(),(1x sh y k y x n n n n I -=∑∞=δεεθ （2-19）把边界条件1,0θθ==∏x 代入上式可得⎰⎰-=LLn n n n dy y x sh K dy y 02'1)(cos )]([)cos(εδεεθ （2-20）])cos())[sin(/()sin(21'n n n n n n L sh K βββδββθ+=（2-21）)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2),(11x L sh y L L sh y x n n n n n n n n -+=∑∞=∏δβββββδββθθ （2-22）（4）最终求得稳态温度场)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2)()cos(])cos())[sin(/()sin(2),(),(),(1112x L sh y L L sh x L sh y L L sh y x y x y x n n n n n n n n n n n n n n n n I -+=++=+=∑∑∞=∞=∏δβββββδββθβββββδββθθθθ2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。

一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。

由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。

当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。

设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql ，地表面的温度均匀，维持为t0。

使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。

解：根据题意画出示意图如下：设有限长热源长度为H ，单位长度热源发热量为l q ，电源强度为)(0w dz q l ⨯，设地面温度维持恒定温度00,t t t -=θ。

（1）求解点热源dz0产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：0)(122=drd r dr d r θ（3-1） 解微分方程可得rc c 12-=θ （3-2） 把边界条件0,=∞→θr 代入上式得到02=c ，所以有rc 1-=θ （3-3） 在球坐标系点热源0dz 单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q ，即 01244dz q c r drd Q l =-=-=λππθλ （3-4） 所以得到014dz q c lπλ-=由此可得到球坐标系中点热源0dz 产生的温度场为 0*14dz rq l πλθ=（3-5） （2）分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有 地下有限长线热源产生的温度场 00114dz rq Hl ⎰=πλθ （3-6） 对称的虚拟热源产生的温度场为 00214dz rq Hl ⎰--=πλθ （3-7） （3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+=-+=⎰⎰⎰-z z z z z H z H z H z H q dz z z z z q dz rq dz r q l H l H lHl 22222222002022020000)()(ln 4)(1)(141414ρρρρπλρρπλπλπλθ （3-8）第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm 的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(Kg •K)，测温记录最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s 。

若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2•K)，试确定气流的真实温度变化范围。

解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为 )cos(*ϕτθ+=w B （4-1）式中)arctan(122r rf w w A B τϕτ-=+=按题目要求102022πππ===T w ，s hA cv r 925.2820610139089003=⨯⨯⨯⨯==-ρτ，)/(202k m w h ⋅=，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式32124130122=-=+r f w A τ （4-2） 把r w τ,的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅4.27=f A ，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为C t 0max 4.1544.272124130=++= （4-3） C t 0min 6.994.272124130=-+= （4-4）3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子)4(4),(2τπλτa r E q r t i l --=确定。