一元二次方程与二次函数
一元二次方程与二次函数是初中数学中的重要内容，因此，每年它都成为中考的热点问题，所以，同学们必须弄清二者的密切联系，才能够对所遇见的问题做到水到渠成，以一当十，触类旁通。
一、二者之间的关系
1、已知二次函数y=ax 2
+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x 的值,可以解一元二次方程ax 2+bx+c=m(即ax 2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax 2+bx+c=0(a≠0)又看作已知二次函数y=ax 2+bx+c 值为0,求自变量x 的值；
2、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的关系：
当b 2-4ac>0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的根1x 、2x ⇔二次函数
y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点(1x ，0)和(2x ,0)；当b 2-4ac=0⇔一元二次方程
ax 2+bx+c=0(a≠0)有两相等的根1x =2x =x ⇔二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴只有惟一的一个
交点(x ,0)；当b 2-4ac<0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 无实数根⇔二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点。
二、应用
例1 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象,如下图所示，由图象可知关于x 的方程ax 2+bx+c =0的两个根分别是x
1=1.3和x 2=____。
析解:本题主要考查二次函数与二次方程之间的联系, y=ax 2+bx+c(a≠0)
的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2+bx+c =0的解.由于两个交点关于
对称轴对称, 一个交点为
(1.3,0),对称轴为直线x=-1,所以另一个交点的坐标为(-3.3,0),
即方程ax 2+bx+c =0的另一个根是x 2=-3.3.
感悟：解决二次函数和二次方程关系问题，关键是确定抛物线与x 轴交点的坐标。
例2 已知抛物线y=x 2-2(k-1)x+k 2-7与x 轴有两个不同的交点.
(1)求k 的范围;
(2)若抛物线与x 轴的交点为A 、B ，且点B 的坐标为（3，0），求点A 的坐标。
析解：本题主要考查二次函数与一元二次方程的内在联系，点在对称轴上的性质以及抛物线的对称轴和顶点坐标的求法。
（1）y=x 2-2(k-1)x+k 2-7=[x-(k-1)]2+2k-8,由抛物线与x 轴有两个不同的交点,而抛物线开口向上,所以2k-8<0,所以k<4。
(2)因为点B(3,0)在抛物线上,所以9-6(k-1)+k 2-7-0,即k 2-6k+8=0,解得k 1=2,k 2=4,由(1)知k<4,所以k=2,所以抛物线的关系式为y=x 2-2x-3,由y=0,得x 2-2x-3=0,所以x 1=-1,x 2=3,所以点A 的坐标是(-1,0).
感悟：抛物线与x 轴的交点的横坐标就是相应方程的解.要求与x 轴交点的横坐标,实际上就是求当y 的值为0时,得到的方程的解.
例3 根据下列表格的对应值： x
3.23 3.24 3.25 3.26 y=－0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）.
(A)3＜x ＜3.23 (B)3.23＜x ＜3.24
(C)3.24＜x ＜3.25 (D)3.25 ＜x ＜3.26
析解：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系。
由于二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0的一个根,所以本题实际上确定抛物线与x 轴交点横坐标的范围,观察表格的数据变化可知3.24＜x ＜3.25时,抛物线与x 轴有一个交点,所以方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是3.24＜x ＜3.25.选(C)。
感悟：判断一元二次方程的解的范围,实质是判断相应的二次函数的图象与x 轴交点的范围,正确理解二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键.
三、挑战中考
1、（08年，武汉）下列命题：
①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．
2、（08年，长春）二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．3<k
B ．03≠<k k 且
C ．3≤k
D ．03≠≤k k 且
3、（08年，双柏县）已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）求△ABC 的面积；
（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．
挑战中考答案：
1、B ；
2、D ；
3、（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 c bx ax ++2
∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC
∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8）
又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）
∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－6，0）、B （2，0）、C （0，8）
（2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上
∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式y ＝ax 2＋bx ＋8，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎨⎧ a ＝－23b ＝－83
∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83
x ＋8 （3）∵AB ＝8，OC ＝8∴S △ABC ＝12
×8×8=32 （4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ，
∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10∵EF ∥AC
∴△BEF ∽△BAC
∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m 8
∴EF ＝40－5m 4
过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45
∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12
（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12
m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8
（5）存在． 理由：
∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12
＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）∴△BCE 为等腰三角形．。