第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。
2．排列45312的逆序数为 5 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。
6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。
3．设α0是线性方程组A x =b 的一个固定解，设z 是导出方程组的某个解，则线性方程组A x =b 的任意一个解β可表示为β= α0+z . 4．若n 元线性方程组A x =b 有解，R （A ）=r ，则当 [r =n 时，有惟一解；当 ,r ＜n 时，有无穷多解。
5．A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组A x =0有非零解的充要条件是 R （A ）＜n .6．n 元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于0 。
7 线性方程组Ax =b 有解的充要条件是r (Ab )=r (A ) 。
8．设1u 是线性方程组A x =b 的一个特解，r n v v v -,,,21Λ是其导出组的基础解系，则线性方程组A x =b 的全部解可以表示为u =r n r n v c v c v c u --++++Λ221111．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-+-=+-22334731243214321421x x x x x x x x x x x 的通解.答案：通解为：x=k 1),(001010110121212R k k k ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 答案：基础解系为v 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1001,00122v3．求非齐次线性方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+-+322212432143214321x x x x x x x x x x x x 答案：同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+121023123434241x x x x x x ，通解为)(21330101R k k x ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 4 求方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=--+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 答案：化为同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-757975767171432431x x x x x x 通解为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00757610797101757121k k x 5．已知线性方程组1324321=+++x x x x4324321-=-++x x x x4234321-=---x x x x 6324321-=--+x x x x（1）求增广矩阵（Ab ）的秩r （Ab ）与系数矩阵A 的秩r （A ）； （2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。
答案：（1）r （Ab ）=r （A ）=4（2）有唯一解。
x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第三次向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a= 1 ,b= 3 .2．已知向量1α=（1，2，3），2α=（3，2，1），则31α+22α= （9，10，11） ，1α-2α= （-2，0，2） ．3．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组1α，1α+2α，1α+2α+3α线性 无关 ．4．设向量321,,a a a 线性无关，则3212,,a a a 线性 无关 。
5．设向量321,,a a a 线性无关，则向量0,,,321a a a 线性 相关 ． 6. 4321,,,αααα 是3维向量组,则4321,,,αααα线性 相 关. 7．零向量是线性 相关 的，非零向量α是线性 无关 的.线性关系部分证明题1 证明：如果向量组γβα,,线性无关，则向量组αγγββα+++,,亦线性无关．证明：设有一组数321,,k k k ，使0)()()(321=+++++αγγββαk k k 成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由于γβα,,线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 因为其系数行列式02110011101≠=，所以方程组只有零解，即0321===k k k ．向量组αγγββα+++,,线性无关得证． 2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr 线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr 与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？答案：等价。
因为β可由α1，α2，…，αr 线性表示，所以有λ1，λ2，…，λr ，使β=λ1α1+λ2α2+…+λr αr ，λr ≠0 ①又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr 线性表示。
由式①有,1112211βλαλλαλλαλλαrr r r r r r +----=--Λ即α1，α2，…，αr 也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。
3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？答案：α1+α2，2α1－α2显然是方程组的解。
所以以下只证α1+α2，2α1－α2线性无关。
设有一组数λ1，λ2，使得λ1（α1+α2，）+λ2（2α1－α2）=0，即 （λ1+2λ2）α1+（λ1－λ2）α2=0， 因α1，α2线性无关，故⎩⎨⎧=-=+.0,022121λλλλ 而,031121≠-=-所以λ1=λ2=0，则α1+α2，2α1－α2线性无关，仍是基础解系。
4．已知)2,5,3(),0,2,2(),1,0,1(321-=-=-=ααα，判定此向量组是线性相关还是线性无关。
答案：线性相关。
5．设1σ=（1，1，2）T ，2σ=（1，2，3）T ，3σ=（1，3，t ）T请问当t 为何值时，1σ，2σ，3σ线性相关？并将3σ用1σ，2σ线性表示．答案：当t =4时，1σ，2σ，3σ线性相关。
3σ＝－1σ＋２2σ．.6 , 设s ααα,,,21Λ线性无关，而βααα,,,,21s Λ线性相关，则β能由s ααα,,,21Λ线性表示，且表示法惟一。
答案：因βααα,,,,21s Λ线性相关，故有k k k k s ,,,,21Λ不全为零，使2211ααk k +.0=++βαk k s s Λ要证β可由s ααα,,,21Λ线性表示，只要证明0≠k ，假设k =0，则s k k k ,,,21Λ不全为零，且有2211ααk k +.0=+s s k αΛ故s ααα,,,21Λ线性相关，矛盾，所以0≠k 。
设有个表示式s s αλαλαλβΛ++=2211s s αμαμαμβΛ++=2211两式相减得0)()()(222111=-++-+-s s s αμλαμλαμλΛ因s ααα,,,21Λ线性无关，所以0=-i i μλ，即).,2,1(s i ii Λ==μλ所以表示法惟一。
第四次特征值部分选择题1. Ａ是ｎ阶正交矩阵，则［A ］（Ａ）1±=A （Ｂ）E AA =*（Ｃ）A A T= （Ｄ）A A =-12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵,则[ A ](A) 存在非奇异矩阵P,使B AP P =-1(B) |A|≠|B| (C) 存在对角矩阵D,使A 与B 都相似于D (D) B I A I -=-λλ3 下列结论中,错误的有( B)(A) 若向量α与β正交,则对任意实数a,b, αa 与βb 也正交(B) 若向量β与向量21,αα都正交,则β与21,αα的任一线性组合也正交 (C) 若向量α与β正交,则α与β中至少有一个是零向量 (D) 若向量α与任意同维向量正交,则 α是零向量4 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110101011A ,则A 的特征值为[ C ] (A) 1,0,1 (B) 1,1,2 (C) -1,1,2 (D) -1,1,15 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是[B] (A) A 有n 个特征值(B) A 有n 个线性无关的特征向量 (C) A 的行列式不等于零(D) A 的特征多项式没有重根《线性代数》1.下列n 阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n 个。