2019-2020年高中数学第三章分期付款中的有关计算（1）教案教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作研究性学习注重的是让学生学会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？2．基本公式：1.等差数列的前项和公式： ，2．等比数列的前n 项和公式： 当时， ① 或 ② 当q=1时， 特殊数列求和－－常用数列的前n 项和：2)1(321+=++++n n n 2)12(531n n =-++++6)12)(1(3212222++=++++n n n n23333]2)1([321+=++++n n n3．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款； ⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款； ⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款 你能帮他们参谋选择一下吗？” 三解决问题的过程： 1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高） 那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？——设为x2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金. 例如,由于月利率为1%,款额a 元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元) 3．独立探究方案1可将问题进一步分解为： 1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？ 4．提出解答,并给答辩： 由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)12=x+(1+1%)2x+(1+1%)4x+(1+1%)6x+(1+1%)8x+(1+1%)10x ，解得101.1)101.1(01.11000012212--⨯⨯=x ＝1785.86 5．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 元的商品,分n 次经过m个月还清贷款,每月还款x 元,月利率为p,则1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=mnmmp p p a x 6．验证并使用模型：方案2中，101.1)101.1(01.1100001212--⨯⨯=x ＝888.49方案3中，101.1)101.1(01.11000012412--⨯⨯=x ＝3607.627．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元； 方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知识、思想和方法、解决问题包括解决带有实际意义的或相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述”本节课以经常碰到的银行储蓄和分期付款为背景，复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更加接近了数学与生活的距离，增加了学生的兴趣，提高了数学的育人功效四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知数2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法;研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩创建数学模型验证并使用模型结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——分期贷款及以复利增长型问题可类似解决五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：2019-2020年高中数学第三章分期付款中的有关计算（2）教案教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程：一、复习引入：1．研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩 创建数学模型验证并使用模型结论分析2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=m n mmp p p a x 二、例题讲解将上节课采取不同方案所得结果列表比较，看其是否有共同特点?列表比较，观其规律.例1 一般地，购买一件售价为a 元的商品采用分期付款时要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n(n 是m 的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为1)1(]1)1[()1(-+-++=m nm mp p p a x推导过程：设每次付款x则：第1期付款x 元（即购货后个月时），到付清款时还差个月，因此这期所付款连同利息之和为： ……第n 期付款（即最后一次付款）x 元时，款已付清，所付款没有利息. 各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：nm m nm n m p x p x p x x -+++++++)1()1()1(2货款到m 个月后已增值为 根据规定可得：m nm m nm nm p a p p p x )1(])1()1()1(1[2+=+++++++-即：m nm m p a p p x )1(1)1(1)1(+=-+-+⋅解之得：1)1(1)1[()1(-+-++=mnm mp p p a x 例2 某人，公元xx 年参加工作，考虑买房数额较大需做好长远的储蓄买房计划，打算在xx 年的年底花50万元购一套商品房，从xx 年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从xx 年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在xx 年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在xx 年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在xx 年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到xx 年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？方案3：若在xx 年初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到xx 年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到xx 年年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高） 那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ ——设为x 搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每年利息按复利计算,即上年利息要计入下年本金.例如,由于年利率为1.98%，,款额a 元过一个年就增值为a(1+1.98%)=1.0198a(元);再过一个月又增值为1.0198a(1+1.98%)=1.0198a(元) 独立探究方案1可将问题进一步分解为： 1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？ 提出解答,并给答辩：按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为： 3×+3×+ (3)=%)98.11(1]%)98.11(1%)[98.11(310+-+-+⨯≈33.51（万元）设每年存入x 万元，在xx 年年底能够存足50万则：50%)98.11(1]%)98.11(1[%)98.11(10=+-+-+∙∙x解得x=4.48（万元）通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；独立探究方案2：分析方法1：设每年还x ，第n 年年底欠款为，则 xx 年底：=50（1+4.425%）–x xx 年底：=（1+4.425%）–x =50–（1+4.425%）·x –x … xx 年底：=（1+4.425%）–x=50×– ·x –…–（1+4.425%）·x –x =50×–解得：1010%)425.41(1%)]425.41(1[%)425.41(50+-+-+⨯=x ≈6.29（万元） 分析方法2：50万元10年产生本息和与每年存入x 的本息和相等，故有 购房款50万元十年的本息和：50 每年存入x 万元的本息和：x ·+x ·+…+x=·x从而有 50＝·x解得：x=6.29（万元） ， 10年共付：62.9万元 独立探究方案3：分析：设每期存入x 万元，每一期的本息和分别为：第5期为x ，第4期x ， 第3期 x ，第二期：x ，第1期x ，则有[1++++·x =50·解得：10210%)425.41(1]%)425.41(1[%)425.41(¨50+-+-+=∙x ≈12.85（万元） 此时，10年共付：12.85×5=64.25（万元）创建数学模型：比较方案1、2、3结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年还清贷款,每年还款x,年利率为p,则1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=mnmmp p p a x 验证并使用模型：（略）结论分析：方案3比方案2多付了：64.25-62.9=1.35(万元)所以方案2更好 方案1每年虽存款少，但需等10年后才能买房由于6.29－4.48＝1.81(万元)，如若本地的年房租低于1.81(万元)就可以考虑先租10年房后再买房的方案，当然还要考虑10年后的房价是升还降的问题四、小结 ： 解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决 六、板书设计（略）七、课后记。