第12章 连续变量的统计推断 （二）――单因素方差分析
12.1 方差分析入门
12.1 方差分析入门
12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4
为什么要进行方差分析 方法原理 单因素方差分析的应用条件 单因素方差分析的SPSS实现
12.1.1 为什么要进行方差分析
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理 方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验 条件下样本均值间的差异
诸 ij 相互独立且 ij ~ N(0, 2) ，i， 2 为未知
研究因素的影响是否显著，归结为k个总体是 否具有相同的均值，即检验假设：
H0：1 2 L k .
单因素方差分析的基本原理
所有数据的偏差平方和 SST k
ni
( yij y)2
i1 j1
总平方和=组间平方和+组内平方和
影响观测变量的因素称为控制因素，或 者控制变量；
控制变量的不同类别，称为控制变量的 不同水平。
12.1.2 方法原理
方差分析就是从观测变量的方差入手， 研究诸多控制变量中哪些是对观测变 量有显著影响的，其不同水平及各水 平的搭配是如何影响观测变量的；
方差分析认为，影响观测变量值变化 的有两类：
方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具 有统计意义的一种方法。例如
医学界研究几种药物对某种疾病的疗效； 农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作
物产量的影响 不同饲料对牲畜体重增长的效果等
都可以使用方差分析方法去解决
12.1.2 方法原理
方差分析的相关概念：
上述农作物产量、广告效果等最终效果 的变量被称为观测因素，或称为观测变 量；
服从自由度为 k-1 和n-k 的F 分布。对于 给定样本， SST确定，如果原假设成立， SSB偏小，由分解知SSW偏大，故F偏小。
单因素方差分析的基本原理
反之，如果F偏大，在 SST确定的情形下， SSB偏大，由分解知SSW偏小，从而原假 设不成立。因此可以使用F统计量来判断 假设是否成立。
Cars.sav数据表
单因素方差分析的基本原理
该问题是考察产地这一因素的变化对汽 车耗油量是否有显著性影响。因此，这 个问题属于单因素方差分析。
通常把产地看作一个因素，记为A因素， 它有3个不同水平记为A1，A2，A3.
耗油量称为试验指标，记为y，第 i 产地 在第 j 次试验下的耗油量用yij表示。
单因素方差分析的基本原理
单因素方差分析用来研究一个控制变量 的各个水平是否对观测变量产生显著影 响；
例子：
不同施肥量是否对农作物产量带来显著影响； 考察地区差异是否影响妇女生育率；
都可以通过单因素方差分析得到结论；
单因素方差分析的基本原理
例12.3 打开SPSS自带文件Cars.sav，其 中变量mpg的含义为每加仑汽油可以行 驶的里程数(简单理解为耗油量)，现在希 望比较产自美国，日本，欧洲的汽车， 考察其每千米耗油量有无差异。
12.1.2 方法原理
在下述条件下，可以将分布的差异变成均值 的差异：
观测变量总体服从正态分布； 观测变量各总体方差应该相同；
总之，方差分析从观测变量的方差入手，检验 均值是否显著差异，分析控制变量是否给观测 变量显著影响，进而对控制变量各水平对观测 变量影响程度进行分析；
方差分析可分为单因素、多因素方差和协方差 分析
k
k ni
SST SSB SSw ni ( yi y)2
( yij yi )2
i1
i1 j1
组间平方和是由A发生变化引起的，反映 总体均数之间的差异。
组内平方和是由随机因素引起的差异。
单因素方差分析的基本原理
理论上，SST 有自由度 n-1，SSB有自由 度 k-1，SSW 有自由度 n-k，在正态分布 的假设下, 如果各组均值相等(原假设)， 则统计量 F MSB SSB /(k 1) MSW SSW /(n k)
总变异(Total)
SST
n-1
12.1.3单因素方差分析的应用条件
可比性
若资料中各组均数本身不具可比性则不适用 方差分析。
正态性
即偏态分布资料不适用方差分析。 对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方
单因素方差分析的基本原理
一般地，单因素方差分析
问题是：设某个因素A有k
A A … A 水平
试验号
12
k
个不同水平A1，… ，Ak. 每个水平下重复进行ni次
1 y11 y21 … yk1
试验，得到ni（i=1,2, … ,k） 2 y12 y22 … yk2
个试验指标。总样本量
N=sum(ni)
… … ………
问因素A的变化对试验指 标y是否有显著性影响
… y1,n1 y2,n2 … yk,nk
单因素方差分析的基本原理
设 i 表示在水平Ai下试验指标y的真实平均值，
则在Ai下每次试验结果yij应该是在真实平均值 的左右随机波动，这个随机波动记为 ij 方差分析模型为
yij i ij , i 1,..., k, j 1,..., ni
根据F分布计算p值：p=Sig.=P(F>F值) 若p<alpha，拒绝原假设，认为因素A对
试验指标有显著性影响。通常当p<0.01 时，称有非常的显著影响。
单形成 方差分析表(Analysis of Variance Table)
变异来源
偏差平方和 自由度
均方
F值
(Sum of Squares) (df) (Mean Square)
(F)
P值 (Sig.)
组间变异
(Between Groups)
SSB
组内变异
(Within Groups)
SSW
k-1 MSB=SSB/(k-1) MSB/MSW P(F>F值) n-k MSW=SSW/(n-k)
一类是控制变量的不同水平带来的影响； 一类是随机因素的影响，主要指抽样误差；
12.1.2 方法原理
方差分析认为：如果观测变量在控制变 量各个水平上波动大，则控制变量对观 测变量有重大影响，波动不大则是随机 因素造成的；
衡量是否产生明显波动是通过检验观测 变量在控制变量各水平上的分布是否出 现了显著差异来实现的，如果有差异就 有波动，反之没有；