集合的运算（一）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． （二）主要知识： ①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或③全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U 表示。

④补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 （三）小题训练 1. 已知集合A =｛Z x x y x ∈-=,1|2｝, },1|{2A x x y y B ∈+==,则B A 为2. 设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为3. (08重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )=4. 集合}02)6(|{2=+-+=x a ax x A 是单元素集合，则实数a =5. 设集合P={}2x ax a +>，3P ∉，那么a 的取值范围（三）例题分析： 题型1：分类讨论思想例1．（07全国II 卷）设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x =<<A B ≠∅，求实数a 的取值范围。

题型2：集合思想例2：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是例3．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？例4．已知函数()f x =242(2)x p x --221p p --+,在区间[-1，1]上至少存在一个实数c 使()0f c >,求实数p 的取值范围.题型3：二次不等式与集合的运算例5已知集合{}2230,A x x x x =--∈≤R ，{}22240,B x x mx m x m =-+-∈∈≤，R R ． (Ⅰ)若[]0,3AB =，求实数m 的值；(Ⅱ)若A B ⊆R，求实数m 的取值范围（四）巩固练习1．已知集合}12|{+==x y x A ，}1|{2++==x x y y B ，则B A 等于2（08陕西理2）已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B 中元素的个数为3.设集合P=(){}k y y x =,，Q=(){}1,+=xay y x ，已知P ⋂Q 只有一个子集，那么k 的取值范围是4.（08全国Ⅱ理1文2）设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤5.（08山东文1理1）满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M的个数是6. （06安徽卷）“3x >”是24x >“的 条件7. 设全集U={x|0<x<10,x∈N *}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．8. 集合}02)6(|{2=+-+=x a ax x A 是单元素集合，则实数a =9. （选修物理做）设p ：25xx >≤-或；q ：502x x+<-,则非q 是p 的必要不充分条件 10. （选修物理做）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有 （A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A11.已知关于25035ax x M M M a x a-<∈∉-的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围。

12. 已知1[,3]2P =，22()log (22)f x ax x =-+的定义域是Q ，若P Q ≠∅，求字母a 取值范围。

13. 已知R 为全集，A =)3(log |{21x x -≥}2-，B =25|{+x x ≥}1，求()A B ．答案1. 已知集合A =｛Z x x y x ∈-=,1|2｝, },1|{2A x x y yB ∈+==,则B A 为易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A ∩B=｛1｝2. 设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 {2} 3. (08重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )= 解析：已知集合{}{}{}5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1===B A U，(u A ) ={1，3，6}，(u B )={1，2，6，7}，则(u A )∪(u B )＝{1，2，3，6，7} 4. 集合}02)6(|{2=+-+=x a ax x A 是单元素集合，则实数a =0，2或185. 设集合P={}2x ax a +>，3P ∉，那么a 的取值范围解：3P ∉，则3RP ∈，R P ={}2x ax a +≤，32a a +≤，1a ∴≤-。

a 的取值范围(,1]-∞-。

（三）例题分析：题型1：分类讨论思想例1．（07全国II 卷）设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x =<<A B ≠∅，求实数a 的取值范围。

解法一：由f （x ）为二次函数知0a ≠，令f （x ）＝0解得其两根为122211112,2x x aa aa =-+=++由此可知120,0x x <>（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>A B φ⋂≠的充要条件是23x <，即21123aa ++<解得67a > （ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即21121aa ++>解得2a <-综上，使A B φ≠成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7-∞-+∞ 解法二：设0a>，则20a -<，(3)0f >，即67a >；设0a<则20a ->，(1)0f >，即2a <-。

综上，使A B φ≠成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7-∞-+∞ 思考：还有解法3吗？ 题型2：集合思想例2：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题3的倍数2的倍数5的倍数的个数是 0析：用集合的包含关系建立概念系统，能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，明确各概念的联系和区别，从而提高学习质量例3．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn 图，不难看出不符合条件的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)＋(200÷30)＝146所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

例4．已知函数()f x =242(2)x p x --221p p --+,在区间[-1，1]上至少存在一个实数c 使()0f c >,求实数p 的取值范围.分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就容易得到正确的解答．解析:设所求p的范围为A,则s C A ={|p 在[-1，1]上函数()f x =242(2)x p x --2210}p p --+≤，注意到函数的图象开口向上 ，{|(1)0,(1)0}s C A p f f =≤-≤=3{|3}2p p p ≤-≥或3{|3}2A p p ∴=-<<点评：有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。

补集作为一种集合的运算形式，它所蕴含的数学思想，可以作为解决问题的具体手段。

补集思想常被运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

但是值得注意的是最后的结果，一定要转换成正面的结论。

题型3：二次不等式与集合的运算例5已知集合{}2230,A x x x x =--∈≤R ，{}22240,B x x mx m x m =-+-∈∈≤，R R ． (Ⅰ)若[]0,3AB =，求实数m 的值；(Ⅱ)若A B ⊆R，求实数m 的取值范围解：由已知得：{}13A x x =-≤≤，{}22B x m x m =-+≤≤． (Ⅰ)∵[]0,3A B =, ∴20,2m m -=⎧⎨+⎩≥3, ∴2,1.m m =⎧⎨⎩≥ ∴2m =．(Ⅱ){}R2,2B x x m x m =<->+或．∵RA B ⊆,∴23m ->,或21m +<-， ∴5,m > 或3m <-．（四）巩固练习1．已知集合}12|{+==x y x A ，}1|{2++==x x y y B ，则B A 等于 ),43[+∞2（08陕西理2）已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B 中元素的个数为 2解：{1,2},{2,4}A B ==，{1,2,4}A B =，(){3,5}U A B =∴3.设集合P=(){}k y y x =,，Q=(){}1,+=xay y x ，已知P ⋂Q只有一个子集，那么k 的取值范围是(]1,+∞-4.（08全国Ⅱ理1文2）设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤解：{}1,0,1,2--=M，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M5.（08山东文1理1）满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M的个数是 2解：集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.6. （06安徽卷）“3x >”是24x>“的 条件（充分不必要）解：条件集是结论集的子集，所以选B 。