第一练集合与常用逻辑用语
1.（集合的基本运算）已知集合A {x|x 1或x 1},集合B {x|0 x 1},则（）
A. A B 1
B. A B R
C. C R A B 0,1
D. A C R B
【答案】D
2.（集合的基本运算）若集合A x 0 x 2，且AI D. 1
【答案】D
【答案】
A.0 或 1
B.0 或 2
C.1 或 2
D.0 或 1 或 2
【答案】C
【解析】日H 儿寒二订或.故选C.
5. （充分条件和必要条件）设x R , i 是虚数单位，则“ x 3”是“复数
z x 2 2x 3 x 1 i 为纯虚数”的
A.充分不必要条
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
B ，贝卩集合B 可能是（）
【解析】由题意得 ，因为|心匸儿所以选 B.
3.（集合的基本运算） 设集合M x | x 2
1,1 ,则集合C M N 中整数的个数为 ()
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】 Q M x| x 2,2 ,N 1,1 , 2, 1 1,1 1,2 ,集合e^N 中整
数只有0，故个数为 4.（集合间的关系） 故选C.
1, 已知集合刖，若 ,
则 （）
【解析】由x 3，得x2 2x 3 3 2 2 3 3 0 , x 1 3 1 4.
2
而由｛X 2x30，得X 3 .所以“x 3”是“复数z X2 2x 3 x 1 i为纯数”
x 1 0
的充要条件.故选C.
6. （逻辑联结词）已知命题方程工=刃恥在〔Q + 电上有解，命题qEE”，有？+卄1 AU 恒成立，则下列命题为真命题的是（）
A. 沁C. D. mr.j
【答案】B
【解析】由题意知假真，所以，为真，故选B.
7. （全称量词和存在量词）命题：“ X。

0,使2xo（x o a） 1 ”，这个命题的否定是（）
A. x 0,使2x（x a）1
B. x 0,使2x（x a） 1
C. x 0,使2x（x a）1
D. x 0,使2x（x a） 1
【答案】B
8. （全称量词和存在量词）命题“卜护…沁+ 恒成立”是假命题，则实数的取值范
围是（）.
A. B. 或C. 或D. 或
【答案】B
【解析】命题“ ax2- 2ax+3>0恒成立”是假命题，即存在x € R,使“ ax2- 2ax+3< 0,
当a=0时，不符合题意；当av0时，符合题意；当a>0时，△ =4a?- 12a>0?a>3, 综上：实数a的取值范围是：av0或a>3.
9. （逻辑联结词与充分条件和必要条件的结合）已知命题p , q是简单命题，则“P q
是真命题”是“ P是假命题”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分有不必要条件
【答案】B
【解析】由p q是真命题，可得p真q假或p假q真或p真q真；由p是假命题，知p 为真命题，则p q是真命题，所以已知命题p , q是简单命题，则“ p q是真命题” 是“ p是假命题”的必要不充分条件，故选 B.
10. （集合运算与不等式、函数的结合）已知集合卜二-歹，r-
（）
A. B. C.脸剧D.
【答案】D
【解析一匚厂吋，所以|』"曲-［孔习，选D.
11. （充要条件和解析几何的结合）已知圆- l/+y2= r2（r>0）.设条件p：0<r<3 ,条
件圆上至多有个点到直线卜*—耳的距离为，则•是的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
12. （充分条件和必要条件与数列的结合）在等差数列｛a n｝中，a i 2，公差为d，则
“ d 4”是“ q, a?, a5成等比数列”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由a b a?, a5成等比数列，得⑻d）2 ag 4d），即（2 d）2 2（2 4d），解得d 0 或d 4，所以“ d 4”是“ a i, a?, a§成等比数列”的充分不必要条件.
13. （逻辑联结词与平面向量的结合）已知命题p：存在向量ad,使得a b a|b，命题q:对任意的向量a、b、c，若a b a c则b c.则下列判断正确的是（）
A.命题p q是假命题
B.命题p q是真命题
C.命题p q是假命题
D.命题p q是真命题【答案】D
【解析】对于命题p，当向量a,b同向共线时成立，真命题；对于命题q，若a为零向量则命题不成立，为假命题；所以命题p q是真命题，故选D.
14. （命题综合判断）下列命题错误的是（）
A. 对于命题p : x R,使得X2 x 1 V 0,贝y P: x R,均有X2 x 1 0.
B. 命题“若x2 3x 2 0,则x 1 ”的逆否命题为“若x 1,,则x2 3x 2 0. ”
C. 若p q为假命题，则p,q均为假命题
D. “X> 2”是“ x2 3x 2 >0”的充分不必要条件.
【答案】C
二.易错问题纠错练
15. （忽视集合端点的取值而致错）设U R，已知集合A {x|x 1} , B {x|x a}，且
（C u A） B R，则实数a的取值范围是（）
A. （ ,1）
B. （ ,1]
C. （1, ）
D. [1,）
【答案】A
【解析】由A {x|x 1}有C u A xx 1，而（C U A） B R，所以a 1，故选A.
【注意问题】充分借助数轴，端点取值要检验
16. （“新定义”不理解致错）设P,Q是两个集合，定义集合P Q {x|x P,x Q}为P,Q 的“差集”，已知P {x|1 - 0}，Q {x| x 2 1}，那么Q P等于（）
x
A.{x|0 x 1}
B.{x|0 x 1}
C.{x|1 x 2}
D.{x|2 x 3}
【答案】D
【解析】从而有，T P {x|1 - 0}，化简得：P {x|0 x 2}，而Q {x|x 2 1}，化x
简得：Q {x|1 x 3} . T•定义集合P Q {x|x P,x Q}，二Q P {x|2 x 3}，故选D.
【注意问题】要充分理解新定义和例子的内涵.
17.集合A x, y |2x 3y 5 0，A x, y | y x 1，则A B 等于（）
A . 2,3 B. 2,3 C. 2,3 D. 2,3
【答案】C
无解｝，则图中阴 影部分所表示的集合是（
） 【答案】C
中阴影部分表示的集合为
（C u M ）l N ，则（CjM ）l N ｛ 2, 1,2｝. A.2个B.4个C.5个D. 8个
【答案】A
【解析】B 2,1 ，则子集为 ，2,1 ，共2个.故选A.
20 .已知角 A 是 ABC 的内角，则“ cosA 1 ”是“ si nA — ”的
条件
2 2 （填“充分不必要”、“必要不 充分”、“充要条件”、“既不充分又不必要”之一
）.
【答案】充分不必要 2tan x ③函数y x 的最小正周期为 一；④任意的锐角三角形 ABC 中，有sinB cosA 成
1 tan x
2 r
立.其中所有正确结论的序号为 _________ .
【答案】①②④
【解析】①当a 1时，a 2 a 成立，所以a . a 成立，当a . a 时，a 2 a 成立，即
18.设全集U
2 R , M {x|x x 0}, N {m|关于x 的方程 m(m 1)(m
4)x 3 要条
件，
则实数m 的取值范围是 【答
案】 2 1 3‘2
21 .已知命题p : x
【解析】因为p 是q 的充分非必要条件，所以
，13, 是 A. { 1,0,1,2}
B. { 1,0,2}
C. { 2, 1,2}
D. { 2,1,2}
【解析】M
{x|0 x 1} , C u M {x |x 0或x 1}，且 N { 2, 1,0,1,2}.又图
19 .已知集合A
1,2 ,B { x,y |x A,y A,x y
A ｝，则
B 的子集共有（） 1或x 3，命题q: x 3m 1或x m 2，若p 是q 的充分非必 ,3m 1 m 2, 的真子集，故｛3m 1 1解得: m 2 3 -m 1，又因为 3
3m 1 m 2，所以m 1，综上可知 2 2 1 -m -，故填 3 2
22 .下列结论：① a 1?是 a a ”的充要条件②存在 a
1,x 0,使得 a x log a x ；
a a 1 0，所以a 1，故正确；②根据指数函数与对数函数关于y x对称，可以知
道，两个函数在直线上可以有两个交点，故存在a 1,x 0,使得a x log a x，正确；③当
x 0时，y 0, x —时，y不存在，故周期不是一，错误；④因为锐角三角形，所
2 2
以A B ,故B A且为锐角，所以sinB sin A cosA，故正确，所以
2 2 2
填①②④。