初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。

2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1）.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；（2）.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根．或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．例1 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，1.求k的取值范围．2.如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．解：（1）b2－4ac＝16－4k＞0, k<4；（2）由题意得：k＝3.∴x2－4x＋3＝0,即（x－1）（x－3）＝0，解方程，得x1=3，x2=1，当x=3时9＋3m－1＝0, m＝-8/3,当x=1时，1＋m－1＝0,m=0。

∵m2＋4＞0 ∴此时 m 的值为m＝0,或m＝-8/3.例2 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ① α2+aα+1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．例3、已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，则有x02(a+b)x+ab＝0① x2abx+(a+b)＝02整理可得（x0+1）（a+b-ab）=0．∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x=-1；把x=-1代入①得1+a+b+ab=0，这是不可能的．所以关于x的两个方程没有公共0根．又解：x2- (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) = 0?所以其两根分别是a 和 b?若方程：x2- abx + (a+b) = 0 有1根x = a,代入,得：a2– a2b + a + b = 0?(b-1)a2 - a - b = 0?( (b-1)a - b ) ( a + 1 ) = 0?得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a < 2 ,舍去）由a = b/(b-1) > 2,（其中b-1>0）,得：b > 2(b-1)即：b < 2?这与 b > 2 矛盾?同理,方程：x2 - abx + (a+b) = 0 有1根x = b,也能推出同样的矛盾?所以两个方程没有公共根例4、求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．解答：不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a 2+ka-1=0，①a 2+a+（k-2）=0．②①-②有ka-1-a-（k-2）=0，即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．（1）当k=1时，两个方程都变为x 2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，没有相异的根；（2）当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x 2-1=0，x 2+x-2=0．解这两个方程，x 2-1=0的根为x 1=1，x 2=-1； x 2+x-2=0的根为x 1=1，x 2=-2．∴x=1为两个方程的相同的根．例5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值。

解答：由方程（a-1）x 2-（a 2+2）x+（a 2+2a ）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a ）=0x 2=a ；同理可由方程（b-1）x 2-（b 2+2）x+（b 2+2b ）=0?解得x 2=b ；∵a，b 为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．（若有也是同样的结果）当a=2，b=4，（把a=4，b=2代入计算的结果一样）例6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k 方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简（3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值． 解答：练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求常数m 的值。

解（1） ∵，∴k≤9；（2） ∵k 是符合条件的最大整数且k≤9，∴k=9，当k=9时，方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx-1=0得9+3m-1=0，∴m=-8/32.已知一元二次方程042=+-k x x 有两个实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程042=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值。

解答：(1)△>0解得k<4(2)k 是最大整数,说明k=3x 2-4x+k=0的根是1和3x 2+mx-1=0的根是1时,m=0x 2+mx-1=0的根是3时,m=-8/33.已知21,x x 是一元二次方程032)1(2=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当k 取符合条件的最小整数时一元二次方程02=+-k x x 与022=-+m mx x 只有一个相同的根，求m 的值。

解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac=（2k ）2-4（k+1）（k-3）＞0解得k ＞-3/2∵方程是一元二次方程∴k+1≠0，∴k≠-1．∴实数k 的取值范围为：k ＞-3/2且k≠-1．（2）由（1）可得：k 取最小整数时k=0．∴x 2-x+0=0，解得x 1=0，x 2=1．①把x=0代入x 2+mx-m 2=0，m=0．②把x=1代入x 2+mx-m 2=0得，m 2-m-1=0，解得m=4、已知方程072=--kx x 与方程0)1(62=+--k x x 有公共根，求k 的值及两方程的所有公共根和所有的相异根。

解答：设两个方程公共根为x ，依题意得X2kx7＝0①X26x(k+1)＝0②②-①得，（-6+k）x+（6-k）=0，当-6+k=0，即k=6时，x取任意值，两个方程得解都相同．两个方程是同一个式子．方程得解是x1=7，x2=-1；当k≠6时，解得x=1．把x=1代入x2-kx-7=0得，1-k-7=0，k=-6．于是两方程为：x2+6x-7=0③，x1=1，x2=-7．X2-6x+5=0④，x1=1，x2=5．故答案为：k=-6；其公共根为1，相异根为：-7和5．5.关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值．解：设方程的公共根为x=t，则T2+bt+1＝0 (1)T2tb＝0 (2)，由（2）得b=t2-t（3）将（3）代入（1）得：t 3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2．●变式：若两个方程x 2+ax+b=0和x 2+bx+a=0只有一个公共根，则（ ）A ．a=bB ．a+b=0C ．a+b=1D ．a+b=-1.解：设公共根为x 0，则?x 02+ax 0+b=0 ① x 02+bx 0+a=0 ②．①-②，得（a-b ）（x 0-1）=0，当a=b 时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x 0=1时，所以1+a+b=0，a+b=-1．故选D ．●变式：已知实数a,b 满足a2+b2=1,且方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0至少有一个公共根,求a 、b 的值解:第一种情况：有两个相同的根，则a=b,即a=b=±2第二种情况：有一个相同的根，则x2+ax+b=0和x2+bx+a=0，两式作差，得（a-b ）（x-1）=0可得x=1可得a+b+1=0加上a 2+b 2=1,可解得a=-1,b=o 或a=0，b=-16.若方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，求2012)(b a +的值。

解答：设公共根为t ，则t 2+at+b=0，t 2+bt+a=0，∴（a-b ）t=a-b ，∵t 有唯一的值，∴a -b≠0，∴t=1，把t=1代入x 2+ax+b=0得a+b+1=0．a+b=-1 故答案是（-1）2012=17.当p 是什么实数时，方程032=-+px x 与方程0)1(42=---p x x 有一个公共根。

解答：X 2-4x-p+1=0.(1)x 2+px-3=0.(2)(2)-(1):(x+1)p+4x-4=0?p=4(1-x)/(x+1)代入（2）：x 2+4x(1-x)/(1+x)-3=0?x 3-3x 2+x-3=0?(x 2+1)(x-3)=0?x=3?p=4(1-3)/(1+3)=-28.设a 、b 、c 为三个互不相等的实数，且1≠c ，已知关于x 的方程012=++ax x 和方程02=++c bx x 有一个公共根，方程02=++a x x 和方程02=++b cx x 有一个公共根，试求c b a ++的值。

分析：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），再根据韦达定理即可求解．解答：解：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，两式相减，得（a-b ）x1+1-c=0，解得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），∵x2=，∴是第一个方程的根，∵x1与是方程x12+ax1+1=0的两根，∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0，当a=1时，这两个方程无实根，故x2=1，从而x1=1，于是a=-2，b+c=-1，所以a+b+c=-3．9.已知方程①：02=++c bx ax ，（其中0≠c ）有整数根，是否存在整数p ，使得方程②：0)()(23=+++++c x p b x p a x 与方程①有相同的整数根？如果存在，请求出p 的值及相应的公共根，若不存在，请说明理由。