三角形外接圆半径的求法及应用 方法一:R ＝ab/(2h ）三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△A ＢＣ的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC=ＡE ·AD ． 证:连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE, 则∠ＡB Ｅ=９0°.∵∠E ＝∠C, ∠ABE ＝∠ＡDC=90°， ∴Rt △ＡＢE ∽Rt △ＡＤC ，∴ACAE ADAB ， ∴ ＡB ·AC=AE ·AD方法二:2R=a/S ｉｎＡ,a 为∠A 的对边在锐角△A ＢC 中,外接圆半径为R 。

求证： 2R=AB/Si ｎC 证：连接AO 并延长交圆于点Ｅ，连接ＢＥ， 则∠ABE=90°. ∴AE ＝AB/ＳinE ∵∠C ＝∠E,Sin Ｃ =S ｉnE∴ＡE=ＡＢ/Si ｎC∴2R ＝AB/SinC 若Ｃ为钝角,则S ｉnC ＝Sin （180ｏ-Ｃ)应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1 已知：如图，在△ABC 中,AC ＝１3,ＢC=１4,AB ＝１5,求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD,构造Rt △A ＢD.只要求出△ＡＢC 中B Ｃ边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为Ｅ.设C Ｅ＝x ， ∵A Ｃ２-CE 2=AE 2=ＡB 2－ＢE 2 ,∴13２-x ２=152-(14-x)2∴ｘ=５,即CE ＝５，∴AE=1２ R=ab/（2h ）=13x1５/（2x １2)=６５/8ABCODE∴△A ＢC 外接圆⊙O 的半径r为865. 例 2 已知:在△AB Ｃ中，AB ＝1３，BC ＝12，ＡＣ=5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特殊角)，求外接圆的半径。

例３ 已知:如图,在△ABC 中,ＡC=２，BC=3,∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R ． 分析：考虑求出角的对边长AB,然后用方法一或方法二解题.解:作直径AD,连结ＢD.作A Ｅ⊥BC ，垂足为E.则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°，∠CA Ｅ=∠DAB ＝ 90°－ ６0°=30° CE=21AC=1，AE ＝3，AB ＝√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3)应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角)，求它的外接圆的半径。

用方法二例4 已知AD=５,AC=7，C Ｄ=3,AB=10√３,求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥B Ｃ于M,则AD 2-MD 2=A M ２ =ＡＣ2－(ＭD+C Ｄ)2.即 5２－MD ２=7２-(MD ＋3)２．得R ＝14, 则△ＡBC 外接圆面积S ＝πＲ2=１96π．例５ 如图3，已知抛物线y ＝x 2－４x+h 的顶点A 在直线y ＝－4x-1上，求①抛物线的顶点坐标;②抛物线与x 轴的交点Ｂ、C 的坐标； ③△ＡBC 的外接圆的面积．解 ①A(2，－9);ABCOD E②B(－１，0）; C(5， ０)．③从A 作AM ⊥ｘ轴交于M 点, 则ＢM=MC ＝3．ＡM =9.∴R ＝５△ABC 外接圆面积S ＝πR 2=2５π三角形内切圆半径r 的求法１ ∵S △AB Ｃ=１/2(a ＋ｂ+c)ｒ∴r=2Ｓ△ABC ／(a+b+ｃ) 2 R ｔ△ABC 中,r=（a+b-ｃ）/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接圆(１)过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。

三角形的外心到各顶点的距离相等．（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2cR =(c 为斜边长）.2、三角形的内切圆（1)到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部． (2）若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a ＋b+c,则内切圆半径为：cb a S r ABC++=∆2，当b a ,为直角三角形的直角边,c 为斜边时，内切圆半径c b a ab r ++=或2cb a r -+=.３、圆内接四边形的性质(１）圆内接四边形的对角互补；(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形． 4、两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．【典型例题】 一、填空和选择(1）一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形一定是( )A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形 Ｄ、等腰三角形 (2）如右图,I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ )A 、∠ＢＩC=︒180-2∠ＡB 、∠ＢIC=2∠AC 、∠BI Ｃ＝︒90+∠Ａ/2 Ｄ、∠B ＩC=︒90－∠A/2（3）ABC ∆外切于⊙O,Ｅ、F 、G 分别是⊙Ｏ与各边的切点,则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。

（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么它的外接圆的半径为 ,内切圆半径为 .（５)等边三角形内切圆半径,外接圆半径分别为R r ,,则R r := ． (6）圆外切等腰梯形底角为︒60，腰长为１0，则圆的半径长为 ． （7)等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于 ．（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 .（9）ABC ∆的内切圆⊙I 与ＡB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠ＦI Ｄ＝∠EID=︒135，则ABC ∆为 ．例2．如图，△ABC 中，I 是内心，A Ｉ交BC 于D ，交△ＡBC 的外接圆于E 。

求证:（1）ＩE=E Ｃ,（2）ＩE 2＝ED ·ＥA 。

·IA BC例3．如图，已知ABC ∆内接于⊙O ,AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE,求证:ABC ∆是等腰三角形例４.已知ABC ∆三边长为6，８，10，则它的内心,外心间的距离为【经典练习】 一、选择题1.下列命题中,正确的有（ ）① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形 ③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形 A ．1个 B.2个 C.３个 D.4个２．在圆内接四边形ABCD 中,∠A:∠Ｂ：∠C=3:5：6,那么∠D=( ） A ．80° B ．９0° Ｃ．100° D.12０°3．如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r ，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ) Ａ．π43 B.π3 C.π23 D.π2 4.如图1,四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ＢOD ＝1１0°，则∠B ＣD ＝（ ） Ａ．12５° B.1１0° C.55° D.70°·ABCOEP5.如图２,四边形AＢCD内接于⊙O，∠ADＣ=６0°，则∠ABＣ＝（）A.30° B．６0° C．120° D.90°6.如图3,正方形ABCD内接于⊙O,点Ｐ在ＡD上，则∠BPC为( )Ａ.３5° B．40° C.４5° D．５0°７.如图4，MNPQ中,过点Q、M的圆与PQ、ＭN分别相交于点E、F，下列结论中正确的有（ )①∠EFN＝∠Q=∠N;②∠EFN+∠P=180°；③EF＝ＰN=MQ;④∠M＝∠FEP。

A．１个Ｂ.2个 C.3个Ｄ.4个8.如图5，四边形ABＣＤ是⊙O的内接四边形,AＤ为⊙O的直径,若∠CBＥ=５0°，则圆心角∠AO Ｃ＝( )A．50° B.８0° C.１00° D.1３０°二、填空题9．设I是△ＡBC的内心，O是△AＢＣ的外心,∠A=８0°，则∠ＢIC= ,∠BＯC= 。

1０．若三角形的三边长为５、12、13,则其外接圆的直径长等于，其内切圆的直径长为。

１1．直角三角形的一边为a，它的对角是30°,则此三角形的外接圆的半径是。

１2．如图6，⊙I切△AＢC于D、E、F,∠C＝60°,∠ＥIF＝１00°，则∠B= 。

图4 图5CB︵13.如图7，⊙O 内切于Ｒt △ABC,∠C=９０°，D 、E 、Ｆ为切点。

若∠ＡOC ＝12０°, 则∠OAC ＝ ，∠B ＝ ；若AB=２c ｍ,则AC ＝ , △ＡBC 的外接圆半径＝ ，内切圆半径= 。

１４．如图8，若弦ＡD ∥BC ，∠B ＡC=70°,∠ABC=8０°,则∠ＡDC= 度,∠ACD ＝ 度。

1５．如图9，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,AE ⊥CD,若∠ＡBC=１30°,则∠ＤAE= 。

１6.如图1０,四边形ＡＢC Ｄ是⊙Ｏ的内接四边形,AB 与ＤC 的延长线交于P 。

已知∠A=6０°, ∠ＡBC ＝100°，则∠P= 。

【大展身手】 一、选择题1.下列说法正确的是( )Ａ.三点确定一个圆 B ．三角形有且只有一个外接圆 C.四边形都有一个外接圆D.圆有且只有一个内接三角形２．下列命题中的假命题是（ ) A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B.三角形的外心到三角形三边的距离相等 C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心 3.下列图形一定有外接圆的是（ ) A ．三角形B.平行四边形Ｃ．梯形D.菱形B 图9图104.下列说法正确的是（ ）A.过一点Ａ的圆的圆心可以是平面上任意点 B ．过两点Ａ、B 的圆的圆心在一条直线上 C.过三点Ａ、B 、C 的圆的圆心有且只有一点 D.过四点A 、B 、Ｃ、D 的圆不存在5.在Ｒt △ABC 中，∠C=９0°，AC=6cm ，BC=８cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ) A ．5ｃm ﻩB ．6cm ﻩＣ．7c ｍﻩD.8cm6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的( ）倍． A.23ﻩB.33 C ．3D.217.三角形的外心具有的性质是（ ）Ａ．到三边距离相等ﻩ B ．到三个顶点距离相等 Ｃ．外心在三角形外ﻩD ．外心在三角形内８.对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A ．它到三角形三个顶点的距离相等 B.它与三角形三个顶点的连线平分三内角Ｃ．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径Ｄ．以它为圆心,它到三角形一顶点的距离为半径作圆,必通过另外两个顶点9.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形,则这个四边形一定是( )A ．菱形ﻩB.等腰梯形ﻩC ．矩形ﻩD ．正方形10．如图所示,圆的内接四边形ABCD,ＤA 、CB 延长线交于P ，ＡC 和ＢD 交于Q,则图中相似三角形有（ ）A 、1对ﻩB 、2对C 、3对D 、4对1１．∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角,那么一定有（ ）A 、∠DCE ＋∠A=︒180ﻩＢ、∠DCE+∠B=︒180 Ｃ、∠DCE=∠Aﻩ｀Ｄ、∠DCE=∠BA DCBPQ二、填空题:1．△AB Ｃ的三边3,2，13，设其三条高的交点为H,外心为O,则OH= .２.△ＡＢＣ的外心是它的两条中线交点,则△ＡBC 的形状为 ． 3．如图所示，在ABC ∆的外接圆中，ＡB=ＡC,D 为ＡB 的中点， 若∠E ＡＤ＝︒114,则∠ＢＡD= .例6 已知:如图，四边形A ＢCD 内接于⊙O ，点P 在A Ｂ的延长线上,且P Ｃ∥B Ｄ。