△ABC 外接圆半径为 2 .
（ 1）求角 C 的大小；
（2）求 △ABC 面积的最
大值 .
解 : （ 1 ） ∵ △ ABC 外 接 圆 半 径 为 2 ，
第7 页
且 2 2(sin 2 A sin 2 C ) ( a b)sin B ,
∴ 由 正 弦 定 理 得 ： 即 (2 2 sin A)2 (2 2 sin C)2 ( a b)2 2 sin B ,
必修 5- 第一章 - 正弦定理和余弦 定理 - 知识点及典型例题
<正弦定理和余弦定理 >
要点梳理
a
b
c
2R
1．正弦定理sin A sin B sin C
其中 R 是 三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形 为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
a b cosB 2
A． 1
2
B． 1
3
C． 2
3
D． 3
4
二、填空题
9．在△ ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC那, 么△ ABC 的形
状是
三角形
第12 页
10．在锐角△ ABC 中， a，b，c 分别为角 A，B，C 所对 的边，且 3a＝2csin A，则角 C＝________.
a2＝(b＋c)2－ bc，又
a
＝2 3，b＋c＝4， 1
有 12＝42－bc，则 bc＝4，故 S△ABC＝2bcsin A＝ 3. 题型三 正、余弦定理的综合应用
例 3. 在△ABC 中， a、b、c 分别是角 A、B、C 的对
边 已知 2 2(sin 2 A sin 2 C ) (a b)sin B ,
1 ＝－ 2.
2 ∵ B 为三角形的内角， ∴B＝3π．
(2) 将 b＝
2 13，a＋ c＝ 4，B＝ 3π代入
b2＝ a2＋ c2 － 2accos
B， 得 b2 ＝ ( a ＋ c) 2 － 2ac － 2accos B， ∴13 ＝ 16 －
1
1
33
2ac 1－ 2 ，∴ ac＝ 3. ∴S△ ＝ ABC 2acsin B＝ 4 .
解析 ∵A＋C＝2B，∴B＝π3.
由正弦定理知 sin A
asin B 1 ＝ b ＝2.
题型二 利用余弦定理求解三角形
例 2 在△ ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，
且ccoossBC＝
b
2a c .
（1）求角 B 的大小；
(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ ABC 的面积． a2＋ c2－ b2
思想方法 感悟提高
第9 页
方法与技巧 1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利
用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变
形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用
它们解决一些实际问题． AB
2．应熟练掌握和运用内角和定理： A＋B＋C＝π， 2＋ 2 Cπ
＋ 2＝2中互补和互余的情况， 结合诱导公式可以减少
解:
由正弦定理得
a
b
3
2
sin A＝sin B，sin A＝sin 45
，°
∴ sin A＝
3 2 .∵a>b，∴A＝60°或
A＝120°.
当 A＝ 60°时， C ＝180°－ 45°－60°＝ 75°， c＝bssiinnBC＝
6＋ 2
2 ；
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bssiinnBC＝
A ． 30
B ． 90
C ． 120
D． 60
7．在△ ABC 中 ,已知三边之比 a : b : c 2 : 3 : 4 ，则 sin A 2 sin B
sin 2C
（）
A．1
B．2
C． 2
D． 1 2
8． ABC中，边 a , b , c 的对角分别为 A、 B、C，且 A=2B，
， （ ） 3
＋c2 的值．
第13 页
13. （12 分）在△ ABC 中，角 A ， B，C 的对边为 ， a,b, c
向量 ， ， ⊥ ．求角 C m (2cos C , sin( A B))
C n (cos ,2sin( A B))
m
n
2
2
第14 页
知三边问题．
基础自测
1．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝23π，则 a＝ 1
.
2．已知 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，2 c，
若 c＝ 2，b＝ 6， B＝120°，则 a＝________.
3．在 △ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝ 5，且 cos C＝190， 则 BC＝ 4 或 5 . 4．已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内接三角形的
余弦定理可以变形为：
2
cos A＝ b
2
c
2
a
，cos
B＝
a2
2bc
c2 b2 ，cos C＝ a2
2ac
b2 c2
2ab .
4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：
(1)已知两角及任一边，求其它边或角； (2)已知两边
第2 页
及一边的对角，求其它边或角． 情况 (2)中结果可能有一解、 二解、无解，应注意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； (2)已
失误与防范 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角 求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能 出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．
过关精练
一、选择题
1．在△ ABC 中， A＝60°，a＝ 4 3，b＝4 2，则 B 等于
()
A ． 45°或 135° B ． 135°
C ． 45°
解 (1)由余弦定理知： cosB＝ 2ac ，
a2＋b2－ c2
cosB
b
cos C＝
2ab
.将上式代入
cosC＝－
2a＋
得： c
a2＋c2－b2 2ab
b
2ac
·a2＋
b2－
c2＝－
2a＋
， c
第5 页
整理得：a2＋c2－b2＝－ ac.
a2＋ c2－b2 － ac ∴co意灵活运用，如由正、余弦 定理结合得 sin2A＝ sin2B＋ sin2C－ 2sin B·sin C·cos
A，可以进行化简或证明．
4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦 (余弦 )定理实
施边、角转换．
第10 页
6－ 2 2.
探究提高 (1) 已知两角一边可求第三角， 解这样的三角
形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求 另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应
第4 页
引起注意． 变式训练 1 已知 a，b，c 分别是△ ABC 的三个内角 A，
B，C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，则 A＝ 6
.
(1)求角 A 的值；
(2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ ABC
第6 页
的面积． 解 (1)由 2cos2 A +cos A=0 ，得 1＋cosA＋cos A＝0，即 cos A
2
1 ＝－ 2. ∵ 0<A<π，∴A＝23π.
(2)由余弦定理得，
a2＝
b2＋
c2－
2bccosA，A＝
2π 3 ，则
(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR等形式，以解决不
同的三角形问题． 2．三角形面积公式
S△ABC
1 ＝2absin
1 C＝2bcsin
1 A＝2acsin
B＝a4bRc＝
1 2(a＋
b
＋ c) ·r(r 是三角形内切圆的半径 )，并可由此计算 R、r.
3．余弦定理：
. a2＝b2＋ c2－2bccos A，b2＝ a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C
D． 3 2
第11 页
4．在 ABC 中，已知 b 2, c 1,B 45 , 则 a 等于（
）
A． 6 2 2
B． 6 2 2
C． 2 1
D．3 2
5．在 中 ABC AB 2, AC 3,BA AC 3,则 A 等于（
）
A． 120°
B． 60°
C ． 30°
D ． 150°
6．在 ABC中，a : b :c 3: 5: 7 ， 则这个三角形的最大角为 （ ）
11．在△ ABC中，边 a，b，c 的对角分别为 A、B、C，且
。则角 B= sin 2 A sin 2 C sin A sin C sin 2 B
。
三、解答题 12．(12 分)已知△ ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分
别为 a，b，c，A 是锐角，且 3b＝2a·sin B. (1) 求 A; (2) 若 a＝7，△ ABC的面积为 10 3，求 b2
探究提高 (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理 将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思 想、方程思想在解题过程中的运用 .
变式训练 2 已知 A、B、C 为△ ABC 的三个内角， 其所对
的边分别为
a、b、c，且
2cos2
A 2
+cos