易见x=±1不是它的极值点。
例2、求函数
的极值
f ( x) 3x 3x 1
2
分析：首先对函数求导，求得 f '( x) ，再求方程 的根，检查 f '( x) 0
f '( x在方程根左右的值的符号。如果 )
左正右负，那么 f ( x在这个根处取得极大 ) 值；如果左负右正，那么 f ( x )
在这个根处取得极小值。
解： 令 当
f '( x) 9 x2 3 3(3x2 1)
f '( x) 0 ，解得
x 变化时，
3 x1 3
3 x2 3
f '( x)
f ( x)
的变化情况如下表：
x
f ( x)
3 (, ) 3
3 3 3 ( , ) 3 3 3
②如图，观察分析可得出结论：若x=x0 是y=f(x)的一个驻点，且在x=x0两边一 阶导数f'(x)的符号不同，则y=f(x)在 x=x0取得极值(若y'左正右负，取极大值； 若y'左负右正取极小值)。
③求可导函数f(x)的极值的方 法： A.求导数f'(x)； B.令f'(x)=0，求出f(x)的驻点； C.检查f'(x)在驻点左右的符号， 判别是否取得极值。
3 3
3 ( , ) 3
f '( x) ＋
０
2 3 1 3
－
０
2 3 1 3
＋
极大值
极小值
因此，当
3 x 3
时，
2 3 1 3
f ( x) 有极大值，并且极大值为
3 当 x 时， 3
f ( x)
2 3 1 3
有极小值，并且极大值为
函数的极值
(1)定义：如果函数y=f(x)在点x0处连 续，并且x0不是其定义区间的端点， 若对x0附近的所有点x(x≠x0)都有f(x) ＜f(x0)(或f(x)＞f(x0))，我们就说函数 f(x)在点x0处取极大值(或极小值)，或 说f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极 小值)，其中点x0称为f(x)的极大点(或 极小点)．极大值与极小值统称极值， 相应的x0也称极值点。
(2)可导函数的极值。使y'=0的点， 是f(x)的驻点；①不难看出可导函 数y=f(x)在极值点处的切线与x轴 平行，即y'=0．所以，极值点一 定是它的驻点，但是可导函数的 驻点是否一定是它的极值点呢？;=3x2=0，知 x=0是它的驻点，但在图形中， 我们可以清楚地看到，x=0并 不是函数的极值点，所以可导 函数的驻点是极值点的必要而 不充分条件。
例1 求函数f(x)=(x2－1)3＋1的极值。 解：f'(x)=3(x2－1)2· 2x=6x(x＋1)2(x－1)2， ①令f'(x)=0 得x=－1，0，1
∴ 当x=0时，f(0)=0为函数的极小值。 ②若设y=f(x)、可以写成，当x=0，y极小 =0。 在此题中，我们看到x=±1是其驻点，并 不是极值点。我们来看它的图象：
注意：①极值点是函数f(x)定义域中 的内点，因而端点绝不是极值点；② 极值是个局部概念，是讨论f(x)在x0 及其邻域点的函数值的大小情况，所 以连续函数f(x)在其定义域上极值点 可能不止一个，函数的一个极小值也 不见得比它一个极大值小，当然有的 函数也不见得有极值。
如图，函数y=f(x)在[a，b]连续，易 见x1，x2，x3，x4，都是y=f(x)的极值 点，y=f(x)在x=x4取极小值，y=f(x)在 x=x1取极大值，但是f(x4)＞f(x1)。