有限单元法的基本思想
α1 α4
α2 x α5 x
α3 α6
y y
应变
x 2， y 6， xy 3 5
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
虚功原理 ——建立等效积分形式的平衡方程
变形体中满足平衡的力系在任意 满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零，即体系外力的虚功与内力的 虚功之和为零。
有限元法分析流程
x
E 1 2
u x
v y
,
xy
E 2(1
)
v x
u y
y
E 1 2
v y
u x
,
x
x
yx
y
fx
0, xy
x
y
y
fy
0
位移表示的平衡微分方程:
x xy
x
xy y
y y
xz z yz
z
pvx pvy
0 0
xz x
yz y
z z
pvz
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
几何方程
应变 ~ 位移
u
第二章 有限元法的基本思想
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
弹性力学 有关知识
有限元法 基本思想
有限元法 分析流程
第二章
弹性力学有关知识
六大假设
有限元法基本思想
必要假定
有限元法分析流程
连续性
无初应力
完全弹性
基本假定
微小变形
均匀性
各向同性
第二章
弹性力学有关知识
主要物理量
荷载
Load
1
E
2
l
u x
v y
m
1
2
u y
v x
s
f
x
1求E解2 位m移vy表 示ux的 偏l 1 微2分 xv方 程uy 组 s ，f使y
其满足边界条件。
只在平面内有应变 εz=0, σz≠0
有限元法分析流程
几何形状 • 很长的柱形体 • 横截面大小和形状沿轴线长度不变；
边界条件 • 作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变。
第二章
弹性力学有关知识
平面问题
有限元法基本思想
有限元法分析流程
平衡方程：2 几何方程：3 物理方程：3
Stress：3 σx σy τxy
物体由于荷载引起形变时，物体内微元体的形状 和尺寸的相对改变。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
应变 Strain
ydy
z
z
γyz
dz dx
dy
O
y
O
y
x
x
单元体任一边的线长度的相对改变称为正应变； 单元体任意两边所夹直角的改变称为切应变。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
节点 单元
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度并存在 相互物理作用。 自由度(DOFs) ：用于描述一个物理场的响应特性。
学科 结构 热 电 磁
自由度 位移 温度 电位 磁位
UY UZ
UY ROTY
UX ROTZ UZ
弹性力学 有关知识
有限元法的 基本思想
有限元法 分析流程
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
求解位移表示的偏微分方程组，使其满足边界条件。
E
1 2
2u ( x2
1
2
2u y 2
1
2
2v ) xy
fx
0
E
1 2
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
位移 Displacement
矢量，物体质点的位置变化
Displacement
x axis: u y axis: v
z axis: w
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
变形 Deformation
变形
位移
形变
应变 Strain
)
n(1
2nq
)]
R2 r2
(1
)(1
n)
n E(1 ) E(1 )
第二章
弹性力学有Байду номын сангаас知识
有限元法基本思想
有限单元法
有限元法分析流程
离散为单元内近似函数
近似函数
等效积分形式
有限差分法
偏微分方程
解析法
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限单元法是什么？
有限元法分析流程
三个自由度 UX UY UZ
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
具有公共节点的单元之间存在信息传递
. . . . . .. . 1node
2 nodes
. A. B. . A. B.
第二章
弹性力学有关知识
插值—单元形函数
有限元法基本思想
有限元法分析流程
真实位移分布
UX ROTX
第二章
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有限元法基本思想
有限元法分析流程
有限元模型—节点与单元
单元: 一组节点自由度间相互作用的描述。 不同单元类型，结点自由度不同。
二维杆 二维梁 三维梁
两个自由度 UX UY
三个自由度 UX UY ROTZ
六个自由度 UX UY UZ ROTX
L
ROTY ROTZ
两个自由度 UX UY
2v ( y 2
1
2
2v x 2
1
2
2u ) xy
fy
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
E,
E,
真实系统
q
2r
ρ
2R
R2
2
q1 ,
R2
2
q1
u
(1
)
R2q1
E
，其中：
q1
[(1
x
y
xzy
x v
y w
z u v
x
0
0
yz
zx
y x
v wz x
应变 Strain
z εz
γyx
γzy
γyz
εy
γxz γxy εx
εy
γyx y
有限元法分析流程
Strain
x
εz
Normal Strain:εx、εy、εz Shear Strain : γxy 、γyz 、γzx
Principal strain: ε1、ε2、ε3
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限单元法(Finite element method)：
一种把连续系统分割成数目有限的 单元，在单元内进行插值以求解偏微分 方程边值问题的数值方法。
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元模型—节点与单元
有限元法分析流程
有限元模型由一些简 单形状的单元组成， 单元之间通过节点连 接并传递信息。
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
应力 Stress
z
z
zx
zy
xz xy x
yz
yx y y
第一主应力
1
2
第三主应力
3
第二主应力 x
Stress Normal Stress: σx、σy、σz
Shear Stress: τxy、τyz、τzx
Principal stress: σ1、σ2、σ3
已知 未知
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有限元法基本思想
有限元法分析流程
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有限元法基本思想
有限元法分析流程
三大方程
平衡方程
应力 ~ 荷载
几何方程
应变 ~ 位移
物理方程
应力 ~ 应变
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有限元法基本思想
平衡方程
应力 ~ 荷载
有限元法分析流程
x
15个基本未知量
荷载
应力 应变 位移
{Pc}={ pcx pcy pcz}T {Ps}={ psx psy psz}T {Pv}={pvx pvy pvz}T
{σ}={σx σy σz τxy τyz τzx }T {ε}={εx εy εz γxy γyz γzx }T
