第二节
五、离散系统状态空间方程的建立
差分方程 算子方程 信流图 方框图 选移位器输出 为状态变量
步骤如下
h(k)、H(E) H(z)
在移位器输入 端写状态方程 在系统输出端 写出输出方程
第二节
例5：由方框图建立系统状态空间方程
f1 (k) 3 f2 (k) ＋
1 E－
x2 (k)
1 E－
x1 (k) 2
xt

2. 重要定理： n阶方阵A的矩阵函数f (A)可表示为一个次数不超过(n-1) 的A的多项式，即 n 1
f ( A) 0 I 1 A 2 A2 n1 An1 k Ak (2)
k 0
式中βk 为标量。 与f (A)相应的标量表达式：
f ( x ) 0 1 x 2 x 2 n1 x n1
(状态方程） （输出方程）
四、状态空间分析步骤
（1）选择状态变量：按状态模型，可选记忆元件输出 变量为状态变量； （2）建立状态空间方程； （3）由状态方程求得状态向量解； （4）由输出方程求得系统输出。
第二节
§8.2 连续系统状态空间方程的建立
一、直接编写法
思路与步骤： ①按状态模型选 各独立uc , il为 状态变量； 状态变量数目 ＝电系统阶数 ＝独立uc , il数目 ②对与状态变量相联系的C、L列写KCL、KVL方程 ③利用KCL、KVL、VCR消去“非法”变量，整理得状态方程 ④用观察法写出输出方程。
x1 (t) . m1 (t)＝x1 (t)
x ( t ) Ax( t )
有记忆部分
. mn (t)＝xn (t)
x ( t 0 )已知 式中 y( t ) Cx( t ) Df ( t ) x ( t ) [ x1 ( t ) x 2 ( t ) x n ( t )]T x ( t ) [ x1 ( t ) x 2 ( t ) x n ( t )]T f ( t ) [ f1 ( t ) f 2 ( t ) f n ( t )]T y( t ) [ y1 ( t ) y2 ( t ) yq ( t )]T
…
f1 (t)
…
无记忆部分
y1 (t)
…
fp (t)
…
yq (t)
第一节
状态模型：将系统划分为有记忆和无记忆两部分，选取独立 记忆元件输出变量作为状态变量x(t)，并结合初始 状态x(0)、输入f (t)来确定其输出y(t)的一种分析 模型。
三、状态空间描述方程
1.连续系统标准形式
x( t ) Ax( t ) Bf ( t ) y( t ) Cx( t ) Df ( t )
i i
i 0
n
式中I为单位阵，λ为标量，det[· ]表示取行列式。 特征方程：q(λ)=0 特征根（值）：特征方程的根 1 2 例：若设 A 则有特征多项式 0 3
0 1 2 1 2 ( 1)( 3) q ( ) I A 0 3 0 3 2 4 3 0
特征方程：q( ) 2 4 3 特征根：1 1 2 3
第三节
二、凯莱－哈密顿定理
内容：任一方阵A恒满足它的特征方阵，即
q( A) i Ai 0
i 0
n
1 2 验证：A 0 3
2
q( ) 2 4 3
2
1 2 1 2 1 0 q( A) A 4 A 3I 40 3 30 1 0 3 1 8 4 8 3 0 0 0 0 12 0 3 0 0 0 9
例3：建立系统状态空间方程 *视S域信流图 为t 域信流图 *积分器输出信号 ≠输出节点信号 状态方程：
输出方程：
x1 6 x1 x2 x2 7 x1 x3 f x 8 x 4 f 1 3
y x1
第二节
三、由H(p)、H(s)建立状态空间方程
1.单输入单输出一阶LTI系统 无记忆部分：代数方程
m ( t ) ax( t ) bf ( t ) y( t ) cx( t ) df ( t )
式中a、b、c、d为常量 记忆元件： 积分方程： x(t ) m( )d x(0) 0 m( )d
输出方程：
y1 x1 y2 x2
x1 2 x1 3 x2 f1 x2 x3 x 2 x x 3 x 3 f 4 x 5 x 3 x 2 f 3 f 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3
第二节
步骤： （1）按状态模型，选积分器（或一阶子系统） 输出为状态变量； （2）在积分器（或一阶子系统）输入端写出 状态方程；
（3）在信流图（或方框图）输出端写出输出 方程。
第二节
例1：单输入单输出方程
因积分器输出信号＝相应输出节点信号 故直接选诸积分器输出节点变量为状态变量 由积分器输入端写出状态方程：
步骤：①由H(p)、H(s)画出模拟信流图； ②采用二中方法建立状态空间方程。 注意：①不同模拟信流图（直接、串并形式）将导致 不同形式的方程； ②应用直接形式Ⅱ时，积分器输出信号≠ 输出节点信号
四、由微分（算子）方程建立状态空间方程
步骤：①确定H(p)或H(s)； ②采用三中方法建立状态空间方程。
(3)
式中各系数按下面两种情况确定： case 1. A具有相异特征根 设n阶方阵A的特征根为λ1 、λ2 、…λn 。在式(3)中，分别 令x＝ λ1 、λ2 、…λn。得
f (1 ) 0 11
2 2 1 2
f (2 ) 0 12 22
x(0)已知
(状态方程）
（输出方程）
状态方程：x(t)的一阶矢量微分方程，描述有记忆部分 输入输出关系，着重体现系统的动态特性。
输出方程：描述输出与状态变量和输入之间的关系， 方程由无记忆部分的输入输出关系导出，是一组代数方程。
第一节
2.离散系统标准形式
x( k 1) Ax( k ) Bf ( k ) x(0)已知 y( k ) Cx( k ) Df ( k )
y1 (k)
f1 (k) 1 3
x2 (k＋1) 1
x2 (k) E－1 －4 －3 E－1 －2
x1 (k) 1 2
y1 (k)
－4 －2 ＋
1 E－
x3 (k)
＋
y2 (k)
f2 (k) 1
1
E－1 1 x3 (k＋1) x3 (k) 1
y2 (k) 1
－3 (a) (b)
x2 ( k 1) 2 x1 (k ) 4 x2 (k ) 1 (k ) x3 ( k 1) 3 x3 ( k ) 3 1 ( k ) 2 ( k ) x1 ( k 1) x2 ( k )
特点：用输入输出变量间的关系表征系统特性，不直接 涉及系统内部情况。 3.描述方式： 解析方式——代数、微分、差分方程 图示方式——电路图、方框图、信号流图
第一节
4.描述方程（数学模型） *LTI瞬时系统：线性常系数代数方程（变量为t或k）； *LTI动态系统：线性常系数微分、差分方程。
二、状态描述
(状态方程）
（输出方程）
y1 ( k ) x1 ( k ) y 2 ( k ) 2 x1 ( k ) x 3 ( k )
( k ) 2
第二节
例6：由差分方程建立系统状态空间方程
见教材P375
第三节
§8.3 矩阵函数
一、矩阵的特征多项式、特征方程、特征根
设n阶方阵A，则有 特征多项式： q ( ) detI A
第二节
如左图电路： ①取uc、il 为状态变量 ②对接C的节点b写KCL方程 uc cuc i L R3 R i u 对含L的回路l1 写KVL方程 Li L 2 2 c ③消去非法变量i2
节点a i2 i1 iL us R1iL i2 回路l2 us R1i1 R2i2 R1 R2
uc cuc i L R3 ④整理得状态方程 R2 Li L ( us R1i L ) uc R1 R2
第二节
uc 2 2 uc 0 uc 2 uc 2iL 3 3 1 u s 1 iL uc iL 2 us iL 1 1 iL 2
⑤输出方程
i 2
u3 u c u s R1iL 1 iL 1 u s R1 R2 2 4 u3 1 0 uc 0 1 u s i2 0 1 iL 4 2
第二节
二、由信流图、方框图建立状态空间方程
n1 n1 1 n1 n1 2

联立求得β0 、 β1 、…、βn-1。 case2. A具有多重特征根 设n阶方阵A在x＝λ1 处具有m重特征根，其余(n-m)个一阶特 征根分别为 λm＋1 、λm＋2 、…λn。 在式(3)中，令x=λm+1，… λn 得到(n-m)个独立方程。 其余m个方程为：
第八章 系统的状态空间分析
8.1 状态空间描述 8.2 连续系统状态空间方程的建立 8.3 矩阵函数 8.4 连续系统状态方程求解
8.5 离散系统状态空间方程的解
8.6 系统函数矩阵与系统稳定性
第一节
§8.1 状态空间描述
一、输入输出描述
1.系统模型：实际系统的基本特性的抽象化描述； 2.输入输出模型：利用系统输入输出关系建立的系统模型。