S
0
i
i


i
q i P d S
S
0 E dS P dS qi0
S S i

S
o E P d S q i
4
上海交通大学 董占海
定义矢量 D 0E P 得介质中的高斯定理
*
上海交通大学 董占海 28
证明：
E1t E 2 t
E1sin1 E 2sin 2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1n D2 n
D1 1 E1 D2 2 E 2
tan 1 1 tan 2 2
上海交通大学 董占海
29
D1n D2 n
S
D dS q0i
i
在任何静电场中，通过任意闭合曲面的D通量 等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。 等于该曲面所包围的自由电荷的代数和
上海交通大学 董占海
5
3. 电位移矢量
D 0E P
1） 在真空中： 单位 C/m
2
P0 D o E P o E
E2
D2
2
5 . 95 10 7 V /m 12 6 . 5 8 . 85 10
1 . 03 10 4 V / m
电场小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿。 （2）极化电荷的面密度为
－e2 0 E2 cos 2 － 0 r 2 1E2 cos 75.10 2 8.85 1012 6.5 1 1.03 104 0.258C / m2 1.27 10 C / m
插入后A、B点电位移矢量有关系 (A) DA> DB (B) DA= DB (C) DA< DB
上海交通大学 董占海
37
例4: 如图示系统（Q、-Q、a、 2a andεgiven)，求（1）电 场分布，（2）电容器电容。 解： 定性分析 （1）电场强度垂直导体表面 & 电场在介质平面两侧的切向分 量相等—— 可得
*
上海交通大学 董占海
8
（2) D 线起始于正自由电荷，终止于负自由电荷在没 有自由电荷处不中断。
*
上海交通大学 董占海 9
例1：
上海交通大学 董占海
10
例2：平行板电容器（S, d），介质厚(, r ),极板带电Q, 求E， D，P，，C Q 解：
Q
上海交通大学 董占海
11
上海交通大学 董占海
D E
Pn
q P dS
上海交通大学 董占海
S
17
例: 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2 的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极 板面积为S。求电容。 D o 解： r1 d1
o d1 d 2 U E1d1 E2 d1 o r1 r 2
D1=1E1
解 （1 ）如图中所 示，设陶瓷内电位 移 的方向与法线成
空气1 陶瓷2
n
1 2
D2=2E2
θ2角
上海交通大学 董占海
31
6 .5 r2 tan 30 0 tan 2 tan 1 1 r1 6 . 5 0 . 5774 3 . 753
2 75 . 1 0
第 13 章 电介质
§ § § 13. 1 13. 2 13. 3 电介质及其极化 极化强度 介质中的高斯定理
介质中的静电场 电位移矢量 介质中的高斯定理 高斯定理应用
1. 2. 3. 4.
§ 13. 4 介质边界两侧的静电场 § 13. 5 静电场的能量
上海交通大学 董占海 1
例：平行板电容器 自由电荷面密度为σ0，充满均匀 各向同性线性电介质，如何求板内的场。
还可看作两个电容的连接：
1 d 1 1 C S 0 S 0 r C 1 C 2
电容变大：电介质有使空间比起实际尺寸变得更小 （大）的属性
上海交通大学 董占海 14
（3) D 的具体空间分布由自由、束缚电荷共同决定。 例3：D线 + + + + + +
－ － － － － － －
r
解:
E E0 E
E 0
0 E0 0


Pn
E E0
0

Pn ~ E
上海交通大学 董占海

0
2
1. 介质中的静电场
在电介质存在空间的电场由自 由电荷和束缚电荷共同产生
E E0 E
+ + + + + +
－ － + － + +
7 2
上海交通大学 董占海
34
例2：证明图中第层介质中的电场为：
Ei
ri
E0
E0为无介质时的场强， Ei 为第i种介质中同一点的场强
+ ε1 ε2 ε3
ε1 ε2 ε3
上海交通大学 董占海
35
Q： 电介质按电力线管填充(如图) 仍有如上关系吗？
+
上海交通大学 董占海
36
例3：平行板电容器断开电源后插入一块电介质。插入 前后A点的电场强度分别为E0和E，则 (A) E0>E (B) E0=E (C) E0<E εr · B ·A
介质中的高斯定理过渡为真空中的高斯定理
上海交通大学 董占海 6
2）各向同性线性介质： P 与E 成正比 (实验) P χ e εo E e —电极化率
r e 1
o r
相对介电常数

电介质介电常数
D 0 r E E
3）一般介质：P 与E 关系复杂
E1t E 2 t
电场强度切向分量连续
上海交通大学 董占海
26
2. 界面两侧的电位移关系
设界面无自由电荷，取一 非常扁的柱形高斯面：

1
1

D2
D dS 0
S
D1
2

2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1n D2 n
界面无自由电荷时电位移矢量法向分量连续
d
0

r
O x
22
S
D dS q0i
i
d x 2
2 DS 0 0 2 x S 0
D 0 xi
2 DS 0 0 S 0 d
0 D i d 2
上海交通大学 董占海
d
d x 2
0

r
O x
23
d x 2
D 0 x E i 0 r 0 r
上海交通大学 董占海 21
例：一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d相对介 电常数为εr，内部均匀分布体电荷密度为ρ0的 自由电荷，求介质板内外的D, E, P 解： 对称分析 D、E、P 取坐标系如图 x0 处 E0 以x =0 处的面为对称面 过场点作正柱形高斯面S 底面积设S0
上海交通大学 董占海
E1n E2 n
两侧电力线密度不同。
1
2
D线
2
1
E线
*
上海交通大学 董占海 30
例1 一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片 （ εr=6.5 ）作为绝缘，其击穿场强为107V/m，已 知高压电在陶瓷片外空气中激发均匀电场，其场强 E1与陶瓷面法线成θ1=300角，大小为E1=2.0× 104V/m 。求（1）陶瓷中的电位移 D2 和场强E2 的 大小和方向，（2）陶瓷表面上极化电荷的面密度。
C
o E1 o r1 o E2 o r 2
oS
U
d2
r2

oS

r1
d1
上海交通大学 董占海
r2
d2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质， 分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
－ － － － － － －
环路定律、高斯定理仍成立
1 E dS
S
0
(q
i0
qi)
E dl 0
c
qi0、 qi’自由、束缚电荷
上海交通大学 董占海
3
2. 介质中的高斯定理
1 E d S qi qi 0
解： D dS 4 r 2 D q
S
R2
R1
q D1 4 r 2 q E1 2 4or1r
q D2 2 4r
E2 q 4or2r
2
r2
R3
r1
能画出大致的E分布？ D分布？ 上海交通大学 董占海
19
上海交通大学 董占海
20
U
0 x P r 1 i r
d x 2
0d D E i 均匀场 0 20 P 0 r 1E 0
上海交通大学 董占海
24
第 13 章 电介质
§ § § § 13. 1 13. 2 13. 3 13. 4 电介质及其极化 极化强度 介质中的高斯定理 介质边界两侧的静电场
上海交通大学 董占海 7
4）对D 进一步认识 （1）辅助量D的由来 Electric displacement field Maxwell , On Physical Lines of Force ,1861： “在一个受到感应的电介质中，我们可以想象每个分 子中的电都发生这样的位移，使得一端为正，另一 端为负，但是依然和分子束缚在一起，并没有从一 个分子到另一个分子上去。这种作用对整个电介质 的影响是在一定方向上引起的总的位移。”