r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D

dS

4
r
2

D

q
S
R2
R1 r2
D1

q 4r 2
D2

q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
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28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
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40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D

i
0
d
2
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d


r
0
Ox
23
xd 2
E

D
0r

0 x
i
0 r
P

r

1 0 x
r
i
xd
2
E

D

i
0d
均匀场
0 0
20
P 1 E 0 r

2.0
104

0.866 C
/
m2
0.258
5.95107C / m2
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32
E2

D2
2

5 .95 10 7 6 .5 8 .85 10 12 V
/m
1 .03 10 4V / m
电场小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿。
（2）极化电荷的面密度为
1 d 1 1 C S 0 S 0 r C1 C2
电容变大：电介质有使空间比起实际尺寸变得更小
（大）的属性
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14
（3) D 的具体空间分布由自由、束缚电荷共同决定。 例3：D线
+
－
+
－
－
+ + + +
－ － － －
+－
+
+
+
+－ +
－ － － －
－
（1）电场强度垂直导体表面 & 电场在介质平面两侧的切向分 量相等—— 可得
Q er
Q
a
2a
E1 E 2 E(r)er
电场强度在两半球均沿径向，电场具有球对称性！ 两侧的电位移矢量则不相同！
两部分的导体表面自由电荷面密度不同！
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38
(2) 利用高斯定理：
D1(r)2r2 D2(r)2r2
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24
第 13 章 电介质
§ 13. 1 电介质及其极化 § 13. 2 极化强度 § 13. 3 介质中的高斯定理 § 13. 4 介质边界两侧的静电场
1. 界面两侧的电场强度关系 2. 界面两侧的电位移关系 3. 电场线电位移线的折射
§ 13. 5 静电场的能量
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的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极
板面积为S。求电容。
解：
D o
E1

o o r1
d1 d2
r1 r2
E2

o o r2
U

E1d1

E2d1

o o

d1
r1

d2
r2

C oS oS
U d1 d2
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r
解:
E E0 E
E0

0 0
E 0
Pn
Pn ~ E

E

E0
0 0
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2
1. 介质中的静电场
在电介质存在空间的电场由自
由电荷和束缚电荷共同产生
E

E0

E
+
－
－
+
+－
－
+
+
+－
+
+
－ － － －
+
－
环路定律、高斯定理仍成立
第 13 章 电介质
§ 13. 1 电介质及其极化 § 13. 2 极化强度 § 13. 3 介质中的高斯定理
1. 介质中的静电场 2. 电位移矢量 3. 介质中的高斯定理 4. 高斯定理应用
§ 13. 4 介质边界两侧的静电场 § 13. 5 静电场的能量
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1
例：平行板电容器 自由电荷面密度为σ0，充满均匀 各向同性线性电介质，如何求板内的场。
25
1. 界面两侧的电场强度关系
取一非常扁的矩形环路


E

dl

0
1
E
1
1
E1 sin 1 E2 sin 2
E1t E2t
电场强度切向分量连续


E 2
2
2
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26Biblioteka 2. 界面两侧的电位移关系
设界面无自由电荷，取一
非常扁的柱形高斯面：

D

P

dS


qi0
S
S
i
S

o
E

P

dS

qi
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4
定义矢量
D


0
E

P
得介质中的高斯定理

D dS q0i
S
i
在任何静电场中，通过任意闭合曲面的D通量 等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。
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5
3. 电位移矢量
自由电荷，求介质板内外的D, E, P
解： 对称分析 D、E、P
取坐标系如图
d
x0 处 E0


r
0
以x =0 处的面为对称面
过场点作正柱形高斯面S
底面积设S0
Ox
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22

D dS q0i
S
i
xd 2
2 DS 0 0 2 x S 0


D 0 xi
*
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8
（2) D 线起始于正自由电荷，终止于负自由电荷在没 有自由电荷处不中断。
*
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9
例1：
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10
例2：平行板电容器（S, d），介质厚(, r ),极板带电Q,
求E， D，P，，C
Q
解：
Q
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11
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D dS Q
S
D1(r) 0E(r)
D2 (r) 0r E(r) 0E(r)2r2 0rE(r)2r2 Q
E(r)

Q
20(1 r
)r2
Q er
Q
a
2a
极化电荷分布可由 0r E(r) 求得。
电容器电容可由电容定义求得
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+
－
+
－
+
－
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15
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16
4. 高斯定理应用
在具有某种对称性的情况下，可以首先由高斯 定理出发解出 D
三个步骤…
D

E

P


q

D P



E
0
r
1E

q

Pn

P

dS
S 上海交通大学 董占海
17
例: 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2
E1

q
4or1r2
E2

q
4or2r2
能画出大致的E分布？D分布？
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19
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20
U
R2 qdr

R1 4 o r1r 2
R3 qdr
R2 4 o r 2 r 2
q r2R3 R2 R1 r1R1 R3 R2
dS

0
S
D1 cos1 D2 cos 2
1

1
D1


D2
2
2
D1n D2n
界面无自由电荷时电位移矢量法向分量连续