kx m
dt
2
d2x k x0 2 m dt ω--角(圆)频率
2 k MLT / L 1 2 M m T
k 令 m
2
d2x 2 x0 2 dt
简谐振动微分方程
11-1 简谐振动的特征和规律
m 2 2秒内振动的次数 T k
弹簧、物体的动能分别为：
1 m s 1 2 EK1 ( d s) v mv 0 2 l l 6
l 2
l
x O
l dt
EK 2
1 Mv 2 2
11-1 简谐振动的特征和规律
系统弹性势能为 EP kx2 2 1 1 2 1 2 2 机械能守恒： Mv mv kx 常数 2 6 2 1 m 2 1 2 ( M )v kx 常数 2 2 3 2
k M m
2 M m T 2 k
11-1 简谐振动的特征和规律
m h L k M
l
（ 2） t 0
F p F
x0 l mg k
x o
p x
m 2 gh v0 M m
2 A x0 ( v0 )2 ( mg k )2 2 ghm 2 ( M m )k
m (
2 0
0
l
t0
0
tg
0
0

)2
0 0 m 0
tg 0
O
T
F



o
哪一个是 的正确值？
mg
0 0 cos
故应取初位相 振动方程
0
cos 1
注意：初角 位移与初位 相的不同
0 cos( g / lt )
切向力： F mg sin
sin
正向
0
3
3!
d F mg ma l 2 dt 2
2

5
5!


d g 0 2 l dt
2
T
F
11-1 简谐振动的特征和规律
g 2 l
l T ห้องสมุดไป่ตู้ 2 g
o

mg
振动方程 m cos( t ) （ 2） x0 A cos 0 m cos t 0 0 m sin v A sin
m dv (M ) kx 0 3 dt
d x k x0 2 dt M m 3
2
T 2 2 (M m 3) k
11-1 简谐振动的特征和规律
11-1 简谐振动的特征和规律
例2:复摆 M mgb
d 2 mgb J 2 dt
令
2
2
o

转动正向
b
*
d 2 0 2 dt
T 2π J
单摆
mgb J
C
mgb
bl
P
（ C点为质心）
J ml
2
T 2π l / g
11-1 简谐振动的特征和规律
第一讲 简谐振动的特征和规律 1-1 振动概述 1-2 简谐振动的特征和规律 •动力学 •运动学 •能量 1-3 简谐振动问题和实例分析
11-1 简谐振动的特征和规律
1-1 振动概述
1.振动特点：平衡位置；重复性
L
C
广义振动：任一物理量 ( 如位移、电 流等)在某一数值附近周期性变化。
11-1 简谐振动的特征和规律
1. 简谐振动问题类型： （1）证明为简谐振动，并求周期(或角频率） •方法一：所受合力是否满足F=-kx的形式。 •方法二：位移与时间是否满足微分方程：
d x 2 x 0 2 dt
•方法三：根据物体的运动是否满足方程：
2
x A cos(t )
1 2 势 能 E p kx （平衡位置为 E P的 零 点 ） 2 11-1 简谐振动的特征和规律
电磁振动
2.振动分类 线性振动 自由振动
振动分类 非线性振动
受迫振动
复杂振动 = 简谐振动
合成 分解
简谐运动
复杂振动
11-1 简谐振动的特征和规律
1-2 简谐振动的特征与规律
1. 动力学特征 F=0----平衡位置
F kx
----线性回复力 简谐振动定义之一（动力学观点） 简谐振动的另 2 一种普遍定义 d x
位移： x A cos(t )
φ=0
思考： φ≠0的振动图线如何画？
11-1 简谐振动的特征和规律
•位移、速度和加速度图线比较
位移： x A cos(t )
π dx A sin(t ) A cos( t ) 速度： v dt 2 dv 2 2 加速度： a A cos(t ) A cos(t ) dt
简谐振动微分方程
2
•动 能
1 2 1 •势 能 E p kx kA2 cos 2 (t ) 2 2 2 k / m 1 mA2 2 cos 2 ( t ) 2 1 1 2 2 •总 能 E Ek E p m( A ) kA • 求振幅 2 2 的另一 E p Ek E 个方法
总 能 量 E const. •方法四：
（2）写出振动方程（三要素） 根据动力学方程确定角频率ω
•通过动力学分析求频率 •通过能量守恒方程求频率 根据初始条件确定积分常数A和 •根据下式求
2 0

2E A x k
v
2 0 2
•运用旋转矢量求初位相
11-1 简谐振动的特征和规律
2. 举例 例1:单摆 :1)证明小角度摆动为简谐振动，并求周期。 2) 若将摆拉至最大角度 0 放手为计时起点， 写出振动方程。 转动
x sin( t )
2
2
( t )
位相（决定振动状态的物理量）。
t 0 ，位相为
称初位相。
由初始条件决定。 （重点！）
A
振幅（最大位移的绝对值），由初始条件决定。
11-1 简谐振动的特征和规律
•常数 A 和
x A cos(t ) v A sin(t )
F合 （M m) g k ( L l x) kx
11-1 简谐振动的特征和规律
F k ( L l x )
m h L k M
l
F p
F
x o
p x
F合 （M m) g k ( L l x) kx 2 d2x d x k 由 ( M m ) 2 kx x0 2 M m dt dt
1 0.8 0.6 0.4 0.2
1 1 2 Ek mv mA2 2 sin 2 (t ) 2 2
A
x
2 4 6 8 10 12
-0.2
t
11-1 简谐振动的特征和规律
•能量平均值
1 0.8 0.6 0.4 0.2
E p Ek
E 2
2 4 6 8 10 12
-0.2
t
1 T1 2 2 1 2 1 EP kA cos (t )dt kA E T 0 2 2 4
11-1 简谐振动的特征和规律
例 5* 劲度系数为 k 、原长为 l 、质量为 m 的均匀 弹簧，一端固定，另一端系一质量为 M 的物体，在 光滑水平面内作直线运动。求解其运动。 解：坐标原点：O
任意时刻： 弹簧元 ds 的质量：
s
ds
M
x
d m md s l s dx 位移为： sx l 速度为：
例3:LC电磁振荡的振动方程 任一时刻自感电动势与 C 的两板间电势差相等。
dI q L dt C
dI q L 0 dt C
1/ LC
2
I dq / dt
2
dq q 0 2 dt LC
2
dq 2 q 0 2 dt
T 2 LC
11-1 简谐振动的特征和规律
设
0
A
A
2
x
2
a
4 6 8 10 12 14
O
t
A
v
11-1 简谐振动的特征和规律
4. 能量特征
无耗散保守力系统， 机械能守恒
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
11-1 简谐振动的特征和规律
d x k x0 2 dt m
1 T1 2 2 1 1 2 Ek kA sin (t )dt kA E 4 2 T 0 2 1 A1 2 EP kx dx ? 试一试：
A 0 2 1 A1 2 EK mv dx ? A 0 2
11-1 简谐振动的特征和规律
1.3 简谐振动问题与实例分析
初始条件
2 v0
的确定
x0 A cos
v0 A sin
t 0 x x0 v v0
2 v0 + x 或v 的正负来 0 0 t an 判断和取舍 x0
在-—之间有两个解，但只有一个解符合要求
11-1 简谐振动的特征和规律
2 A x0
3. 振动图线
例4. 已知：M, m, h, k. （1）证明物从静止落下与板粘在一起后作简 谐振动，并求周期。 （2）当物与板相碰时作为记时起点，写出 振动方程。 m 解：（1）首先选一坐标系， 原点放在受力平衡处。 h Mg kL F M L F l ( m M ) g k( L l ) x o p k 任意 x 处分析受力： p p ( M m) g x