第一节 第一类曲面积分 内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质

定义1 设曲面是光滑的, 函数),,(zyxf在上有界, 把任意分成n小块iS(iS同时也表示第i小块曲面的面积),

在iS上任取一点),,,(iii作乘积 ),,2,1(),,(niSfiiii

并作和,),,(1niiiiiSf 如果当各小块曲面的直径的最大值0时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(zyxf在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 

niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(



 (4.2)

其中),,(zyxf称为被积函数，称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法

.),(),(1)],(,,[),,(22xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf (4.3)

例题选讲 例1 计算曲面积分,zdS 其中是球面2222azyx被平面)0(ahhz截出的顶部.

解 的方程为.222yxaz 在xOy面上的投影区域:xyD.),(2222hayxyx 又,122222yxaazzyx利用极坐标

故有xyDraadxdyzdS22 220202222rardrdaraardrdhaDxy22022)(212haraIna .2haaIn 例2（E01）计算,)(dSzyx 其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.

解 积分曲面,5:yz其投影域},25),({22yxyxDxy ,2)1(011222dxdydxdydxdyzzdSyx 故 xyxyDDdxdyxdxdyyyxdSzyx)5(2)5(2)(

.2125)cos5(25020rdrrd 例3（E02）计算,xyzdS其中是由平面0,0,0zyx及1zyx所围四面体的整个边界曲面. 解 如图(见系统演示)， .2341xyzdSxyzdS

注意到在321,,上，被积函数,0),,(xyzzyxf故上式右端前三项积分等于零.

在4上，,1yxz所以 ,3)1()1(112222yxzz 从而4xyzdSxyzdSxyDdxdyyxxy,)1(3其中xyD是4在xOy面上的投影区域.

xyzdSxdyyxyxdx1010)1(3

dxyyxxx10103232)1(3 dxxx1036)1(3 .1203)33(6343102dxxxxx 例4计算,dSxyz 其中为抛物面).10(22zyxz

解 根据抛物面22yxz对称性,及函数||xyz关于yOzxOz、坐标面对称,有 dxdyyxyxxyxyzdSdSxyzxyD2222)2()2(1)(441 2010251022220412sin241sincos4drrrtdtrdrrrttrdt

.420151254141512duuu 例5 计算,xdS 其中是圆柱面,122yx平面2xz及0z所围成的空间立体的表面. 解 ，＝321 12，在xOy面上得投影域.1:22yxDxy

于是 1,0xyDxdxdyxdS 2,011xyDdxdyxxdS

将)1:,(313223xy投影到zOx面上，得投影域 .10,11:xyxDxy dxdzyyxxdSxdSxdSzxDzx221232313

,121122011222xDdzxxdxdzxxxxz 所以 .00xdS

例6（E03）计算 ,)(222dSzyx为内接于球面2222azyx的八面体azyx||||||表面. 解 被积函数222),,(zyxzyxf关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面也具有对称性,故原积分1,8 其中),0,,(:1zyxazyx1在xOy面上的投影为,0:axDxy,0xay而,yxaz所以 .3122dxdydxdyzzdSyx dSzyxdSzyx1)(8)(222222

dxdyyxayxxyD3])([8222 dyyxayxdxxaa022203])([8.324a 例7（E04）求球面2222azyx含在圆柱体axyx22内部的那部分面积. 解 由对称性知，所求曲面面积A是第一卦限上面积1A的4倍.

1A的投影区域),0,(:22yxaxyxDxy 曲面方程,222yxaz故 ,122222yxaazzyx

所以 20cos022222224414aDDyxrardrdayxaadxdydxdyzzAxyxy .42)1(sin422202aada





例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000hkm，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400Rkm).

解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半

顶角为的圆锥面所截得的部分. 的方程为 ,222yxRz 它在xOy面上的投影区域 .sin:2222RyxDxy 于是通讯卫星的覆盖面积为 ).cos1(22RA

将hRRcos代入上式得 .21222hRhRhRRRA 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 %.5.4242RA 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 课堂练习

1.当是xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分dSzyxf),,(与二重积分有什么关系?

2.计算dSyx)(22, 其中为锥面)(3222yxz被平面0z和3z所截得的部分.. 3. 求半径为a的球的表面积. 第二节 第二类曲面积分

二、第二类曲面积分的概念与性质 定义1 设为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(zyx处的单位法向量,coscoscoskjin 又设

kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,( 其中函数RQP,,在上有界, 则函数 coscoscosRQPnv



则上的第一类曲面积分 dSnv.)coscoscos(dSRQP



(5.5)

称为函数),,(zyxA在有向曲面上的第二类曲面积分. 三、第二类曲面积分的计算法 设光滑曲面：),(yxzz，与平行于z轴的直线至多交于一点，它在xOy面上的投影区域为xyD, 则.

yzDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(

. (5.9)

上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定. 例题选讲 第二类曲面积分的计算法 例1 (E01) 计算曲面积分,222dxdyzdzdxydydzx 其中是长方体 }0,0,0|),,{(czbyaxzyx的整个表面的外侧. 解 如图(见系统演示), 把有向曲面分成六部分.除43,外，其余四片曲面在yOz面上的投影值为零,因此 34222dydzxdydzxdydzx.0222bcadydzdydzayzyzDD

类似地可得,22acbdzdxy.22abcdxdyz 于是所求曲面积分为.)(abccba 例2 (E02) 计算,xyzdxdy其中是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.

解 把分成1和2两部分,1:2211yxz,1:2222yxz 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy

dxdyyxxydxdyyxxyxyxyDD)1(12222 dxdyyxxyxyD2212利用极坐标 .1521sin222rdrdrrxyD

例3 (E03) 计算,)(2zdxdydydzxz其中是旋转抛物面2/)(22yxz介于平面0z及2z之间的部分

的下侧. 解 .coscos)(dScos)()(222dxdyxzxzdydzxz

在曲面上，有 .11coscosxxzx





dxdyzxxzzdxdydydzxz]))([()(

22

dxdyyxxxyxxyD)(21)()(4

12222

.821cos)(212020222222rdrrrddxdyyxxxyD 课堂练习 1.当是xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdyzyxf),,(与二重积分有什么关系?

2.计算曲面积分,zdxdyydzdxxdydz其中为平面,0x,0y1zyx所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 第三节 高斯公式 通量与散度