2020年江苏省常州教师招聘考试模拟卷数学参考答案与解析一、单项选择题1.【答案】C.2.【答案】A.解析：•..点P(a，b)是平面直角坐标系中第四象限的点，.・.a>0,b<0,.・.b-a<0, Vb^+|b-a|=-b-(b-a)=—b—b+a=—2b+a=a—2b，故选：A.3.【答案】B.解析：如图，过C作CD±OA于D.直线l i：y=—号+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2V2，即A(2V2，0)，B(0，1)，「.RtAAOB 中，AB=寸厶。

2+1。

2=3..ZBOC=ZBCO,「・CB=BO=1,AC=2.•/CD//BO,:.OD=|AO=¥，CD^hO^I，即C(|V2,I),把C(|V2,I)代入直线l2：y=kx，可得：|=|V2k，即.故选B.4.【答案】B.解析：由题可知，y=f(x)与y=g(x)互为反函数，因为y=g(x)=ln(2x),所以x=ln(2y),即2y=e x，所以y=f(x)=|e x，故选：B.5.【答案】D.解析：在APAM中，PM?=P42+4^2=2+4^2,•.•线段PM长度最小值为V3,则线段长度最小值为1,即A到BC的最短距离为1,AZ BAD=60°,ZCAD=120°-ZBAD=60°,则A ABC为等腰三角形，AB=AC=2,AAB C的外接圆半径为R=；x-^=2,设球心距平面ABC的2sin30°高度为h,则准+22=22—(V2—打)2,Ah=V2一打，h=g，则球半径r=J22+(孚j=£则三棱锥P-ABC 的外接球的表面积是S=4TO-2=4TTX：=18兀，故选D.二、填空题1.【答案】107.解析：3、5和7的最小公倍数：3x5x7=105,105+2=107(个)；答：这个学校五年级有107名学生.1I a土=1,解得：a=1.故答案为1.23.【答案】18.解析：a+b+c=0,两边平方得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0,'/ab+bc+ca=-3,a2+b2+c2+2x(-3)=0,「・a2+b2+c2=6.ab+bc+ca=-3,两边平方得：a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc=9,即a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=9,a2b2+b2c2+c2a2=9.a2+b2+c2=6,两边平方得：a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=36,A a4+b4+c4=36-2(a2b2+b2c2+c2a2)=18.故答案为：18.4.【答案】一2.解析：原式=*°*&+l+tanl7°+tan28°+tanl7°・tan28°=三、解答题1.【答案】兔：6只；鸡：10只.解析：方法一：假设全是兔鸡：（4x16-44）-（4-2）=10（只）.兔：16—10=6（只）.方法二：假设全是鸡兔：（44-2x16）-（4-2）=6（只）.鸡：16-6=10（只）.2.【答案】1.解析:ϑ2x+a-1>0"x-a-1<01-ax>-----21+ax<—2n-------<x<------...不等式组ϑ2x+a-1>0〔2x-a的解集2sin(12°-60°)-sin48°2oficn 中公教育学员专用请勿外泄答：小梅家的兔有6只，鸡10只.（江苏宿城区）1.【答案】（1）5；（2）刍（3）见解析；（4）当x =2时，CF，DH 我为最大值.o 5解析：Cl）•.•AB 为直径，=90°,."。

11厶871。

=芸由勾股定理：AB =y/BC 2+AC 2=V32+42=5；(2)AB 1DE,・.•AAFD =zACB =90°,•••匕厶为△ADF 和△ABC 的公共角，^A ADF^A ABC,5LAD AF .八AF-AB 秘525—=—,・.・AD ==—=—AB AC AC 48⑴由⑵可得△时長△其，崂禮，即X由C3丿知A A ABD =A ACF,•••/-ABD =AACH,・.•AACH =AACF,又A CAF =AH,ACH^A HCD,餘=备即mE,设AO =x,则CO =4—x,AF =fx,.-.CF.DH =ixr4-x；一衆+土=\.••当％=2时，CF ・DH =籍为最大值.2.【答案】（1）y=-X 2+2X +3；（2）证明见解析；（3）存在，点P 坐标为（琴解析：（1）I .二次函数y =ax 2+bx -3a 经过点A （-1,0）、C （0,3）,.••根据题意，得｛*一」3二“3=°，解得｛［二；，「・抛物线的解析式为y =-x 2+2x+3.（2）由y=-x 2+2x+3=-（X-1）?+4得，D 点坐标为（1,4）,22fl-09+<4-39=很，J 又匕厶为△ACT 和△ABD 的公共角，^A ACF^A ABD,CFAF _BD --''•AD "216(x —2)+m ，学）或（2,3）.E4丿连结CH,CH学员专用请勿外泄______I22BC=V32+32=3V2,BD=J<3-19+<4-09=2岳VCD2+BC2=(V2)2+(3V2)2=20,BD2=(2⑤2=20,ACD2+BC2=BD2,.•.△BCD是直角三角形；(3)存在.y=-x2+2x+3对称轴为直线x=l.①若以CD为底边，则PiD=PiC,设Pi点坐标为(x,y),根据勾股定理可得P《2=x2+(3-y)2，BD2=(x-l)2+(4-y)2,因此x2+(3-y)2= (x-1)2+(4-y)2,即y=4-x.又Pi点(x,y)在抛物线上，...4-x=-X2+2X+3,即X2-3X+1=0,解得为=三区X2=W^<1,应舍去,.・.X=亨，.・.y=4-X=号，即点P］坐标为（亨，号）.②若以CD为一腰，.・•点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P，2与点C关于直线X=1对称,此时点P2坐标为（2,3）...・符合条件的点P坐标为（芋，号）或（2,3）.3.【答案】(I)£(II)2.解析：(\)【方法一】由己知得sinC—sinAcosB=—sinB,2sinC=sin[iT—(fA+B丿]=sin(fA+B丿=sinAcosB+cosAsinB,・,•cosAsinB=—sinB；2又B G CO,IT丿,.•・sinB>0,.•・cosA=号,由A C TC)?得A=—；4【方法二】由己知得c-a a2+c2~b2=—b?化简得b2+c2-a2=V2bc,2ca2cos A—b+<^a=—,由A€CO,n丿，WA—-；2bc24oficn 中公教育学员专用请勿外泄fl!)由cosB =—,B G CO,IT 丿，得sinB =V1—cos 2B =―,1010在/k ABC 中，sinC =sin fA +B 丿=sinAcosB +cosAsinB =—x —+—x —=~,5.L 仃+(2m)=5,m =±l5.【答案】(I )6^=211+1,b n =2n +l ；(II)10.解析：(I )令？i =1得，a ±-2a 2+Q3=0,解得但=5.又由—2a n+1+CL n +2=°知Q?I +2—a n+l =a n+l ~a n ~**,=上2—>1=2,故数列｛务J 是首项Qi =3,公差d =2的等差数列，于是［打—2n +1?b n —a 2n-i —2n +1.(II )由(I )矢口，如=271+1.于是7；=如+K +...+如=(21+22+…+22)+n.=竺箜+n.=2n+1+n-2.令f(n)=2n+1+n -2,易知f(n)是关于n 的单调递增函数，又.(9)=2如+9-2=1031,/(10)=211+10—2=2056,故使幻+bib n >2018成立的最小正整数?i 的值是10.26.【答案】(1)双曲线C 的方程为尸一匕二1；(2)m =±l.a 1_>/3解析：（1）由题意，得，解得。

=17C =5/3,凌_。

2=2,.••所求双曲线C 的方程为亍_；二1（2）设A 、B 两点的坐标分别为（M 我）,（如必2），线段AB 的中点为A/（XoJo ）,得x 2-2mx-m 2-2=0（判别式A〉。

），.V -y +m =0•・•点A/(又0Jo)在圆乂2+*2=5上,学员专用请勿外泄7.【答案】(I)见解析；(II)i;(III)y.解析：(I)因为PA丄底面前CD,CD u底面旭CD,所以PA_L CD,正方形ABCD中，AD_L CD,又因为PA^AD^A,所以CD丄平面PAD,因为AQ u平面PAD,所以AQ1CD.(II)正方形施CD中施丄AD,侧棱PA丄底面ABCD.如图建立空间直角坐标系。

-X",不妨设AB=2.依题意，则A(Q,0,0A C(2,2,0A P(Q,0,2A Q EO,L U，所以豆=(f,-2,2),AC=C2, 2,0A AQ CQ,1,1；.设平面AQC的法向量元=(x,y,z),因为元•集=?,所以化搜二。

,令%=1,得y=-1,即无=①-1,1丿，S•AQ=0(y+z=0t z=]所以cos<n,有>=着高=9所以直线PC与平面AQC所成角的正弦值为§(III)由(I)知CD丄平面PAD,所以尻=(2,0,0丿为平面PAD的法向量，因为cos V71,DC=g‘且二面角C_AQ_D为锐角，所以二面角C—AQ—。

的余弦值8.【答案】(1)详见解析；(2)[2,+8).解析：(1)广(%)=(2ax+2)e2x+(2ax2+4%—2)e2x=2%(ax+a+2)e2x,当a=-2时，广(x)M0,故无极值点；当a=0时，函数f(x)只有一个极值点，极值点为％=0；当QW—2且QA0时，函数f(x)有两个极值点，分别为x=0和％=一半.(2)/(%)+1=e2x(ax2+2%—1)+1,依题意，当％<0时，e2x(ax2+2%—1)+1>0,即当x<0时，ax2+2%—1+^->0.设/i(x)=Q/+2.x—1H—,则=2.cix+2———2(QX+1—设m(x)=[%+1-&,则=Q+&.①当a>-2时，v x<0,>2,从而m z(x)>0(当且仅当x=0时，等号成立)，oficn中公教育学员专用请勿外泄m(x)=［%+1—忘在(―S0］上单调递增.又v m(x)=0,A<0时，m(x)<0,从而当x<0时，"(x)M0,/i(x)=ax2+2%—1+&在(一8,0］上单调递减，又fi(x)=0,从而当%<0时，h(x)>0,即a/+2*一1+杰z0,于是当x<0时，/(%)+1>0.②当QV-2时，令m'(x)=0,得i+£=0，X=jin(-三)V0.故当x G。