公平的席位分配模型
班级：数（2）学号：0907022015
摘要：本文建立数学模型的方法，通过讨论某学校的学生代表席位在不同院系之间的公平分配问题。
由于人数是一个整数，所以在通常情况下不能保证各个院系最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。
因此席位分配不可能在任何情况下都绝对公平，我们通过建立数学模型的方法找到尽可能使分配结果的整体不公平程度降低。
关键词：主要分数法席位分配公平度指标
正文
1 问题的重述
有关公平分配席位的问题，由于人数是一个整数导致在一般情况下不能保证各个院系最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。
因此席位分配不可能在任何情况下都绝对公平，进行了各种方法的比较，经过多次试验证明主要除数法的结果要贴近实际，不公平程度较低，最后又对所用方法的科学性进行了阐明。
2 合理假设与变量说明
2.1假定各系的人数已确定，且席位增加时各系的席位数不减少。
2.2在各系的席位数分配好的前提下，人数增加的系席位数不会减少。
2.3 p：总人数；i p：各方人员;i=1,2,
3...n
N:总席数；i N各方分配数；i=1,2,3...n
A的相对不公平度：
1122
12
22
//
(,)
/
A
p n p n
r n n
p n
-
=
；
()
1122
//
p n p n
>
;
B的相对不公平度：
2211
21
11
//
(,)
/
B
p n p n
r n n
p n
-
=
;
()
2211
//
p n p n
>
;
3 问题的分析及模型建立
初等模型（不可分割的实体分配）
p：总人数；i p：各方人员; i=1，2，3……n N:总席数；i N各方分配数；i=1，2，3……n
A的相对不公平度：
1122
12
22
//
(,)
/
A
p n p n
r n n
p n
-
=()
1122
//
p n p n
>
;
B 的相对不公平度：
2211
2111
//(,)/B p n p n r n n p n -=
()2211//p n p n >;
为了寻求新的，公平的席位分配方法，先讨论衡量公平的数量指标。
构造不公平指标：
以A ，B 两个系来考察构造：
1122
1222
//(,)/A p n p n r n n p n -=
，1122//p n p n ≥ (1)
称之为1方的相对不公平度
{,,{1,2},:
(,)}
r i
i
i
j
ij i j i j i
j
i
j
i j n i j p p n n
p
p
n n n n p n -∀∈≠>
=
……构造：
4 模型的求解
现在我们把12n n +再加1，若增加的1席分给A ，1
n 就变成11n +，分配给
B 就有
21
n +，原分配问题就可以分为以下2中情况讨论：
4.1若
2
1
1
2
12
1211
2
2
2
1)(1,),
1(1. r p n
p p p
n
n n p n n
n
+-
+=
>
+成立
若
显然我们可以知道增加的分配席位应该给A 方 4.2若
时，需要进行另一变量的讨论：
比较1r 和2r 的大小，且添加的席位分配要给较大者才能达到公平。
假定：1
2
r r > 则我们可得到
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1)
1)
1)
1)
((((p p n p p n
n n p n p n -+-+>
++
也就等价于：
1
212
1
2
2
2
1
1
1
2
(1))*
(1))*
11((p
p
p
p n
p p n
n n n
n -
+>-+++
2
2121
1
2
2
*(1)*(1)
((p n
p n
n n +>
+
我们令：
2
( (1,2,
,)
1)
i i i i p Q i m n n ==+
有以下两个算式知：
2
2
1212
1
2
2
1
11)11p p
*(*p p n
n
n n
n n >
⇔
>
++ (1)
112121
1
2
1
2
+11p p p p
p
n
n n
n
n >
>>⇒
>
+ (2)
1
2
q q
>综合以上两个式子即对第一种情况也包含在
2
( (1,2,
,)
1)
i i i i p Q i m n n ==+中
p i i
n 即当增加时不一定增加i
,,i i n n n n N
+
=∈∑
在使相对不公平度尽量小的分配原则下，如果 ()()
1
2121,,1B A n n n n r r +<+
则增加的1席位应该分配给A ，反之，则增加的1席位应该分配给B （等号成立时可分给任一方）于是有：设i
A 方的人数为
i
p ，已占有
i
n 个席位
（(1,2,
,)i m =，当总席位增加1席时，计算
2
( (1,2,
,)
1)
i i i i p Q i m n n ==+ (3)
则这一席应分配给Q 值最大的一方。
用上面办法来讨论本节开始提出的问题： 即三个方共200名学生分配21席位代表的解。
首先每个方分配1席，然后计算：
甲方 222
1 111110*********.5
(1)1(11)2p n Q n n =====++
乙方 22
2 22226311984.5
(1)2p n Q n n ====+ 丙方 2
2
3 3333361578
(1)2p n Q n n ====+.
11,2,3
max{}5304.5 i i Q Q ===∴
增加一席即第4席应分配给甲方。
乙方 2
2
2 2222631661.5
(1)2(21)p n Q n n ====++
甲方 2121768.2
n Q ==
丙方
331578
n Q ==
11,2,3
max{}1768.2
i i Q Q ===
故第6席应分配给甲方。
如此计算下去…，直到第21席分配给某方为止。
如此：用Q 值方法将21个席位分配结果公布如下：其中圆卷内的数字j 表示第j 席应分配它所在的方 方 Q j
甲方
乙方
丙方
5304.5 ④1768.2 ⑥5804.1 ⑦530.5 ⑩353.6 (11) 252.6 (13) 189.4 (16) 147.3 (17) 117.9 (19) 96.4 (20) 80.4 1984.5 ⑤
661.5 ⑧
330.8 (12)
198.5 (14)
132.3 (18)
94.5
578 ⑨
192.7 (15)
96.3 (21)
共11席共6席共4席
表1 席位分配
由此可看出，用Q值方法分配代表席位，丙方保证了它险些丧失的1席，此方法较公平。
参考文献
[1]陈珽.决策分析[M].北京：科学出版社，1987:325.
[2]姜启源.数学模型[D].2版.北京：高等教育出版社，1993:10-19.
[3]史树中.数学与经济[M].大连：大连理工大学出版社，2008:115.。