在面积A上取面元dA ，纵坐标y ， 淹深为
h y sin
C1.5.1 平壁总压力大小(2-2)
作用在dA 和A上的总压力
dF ghdA gysin dA
F=AdF=ρ gsinθA ydA
在几何上面积A 对x 轴的面积矩
A ydA yc A
yc 为面积A形心的纵坐标,
当 z1 ,保z2持不变时， 改p1变引起 同p时2 改变，这就是帕斯卡原理.
C1.4 均质液体相对平衡(3-1)
C1.4 均质液体相对平衡
当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度（向心加速度
a 2r)旋转并达到稳定时，液体象刚体一样运动，N-S方程 a fg p
( fg－a) p
积分得
2r 2
gz C 2
C不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面(r = 0，
z = z0)上C =－g z0。设自由液面垂直坐标为ｚs ，
方程为
2r 2
2g
zs
z0
代入压强分布式，令h = zs- z ，可得
p p0 ρg (z0 z) (z0 zs ) p0 ρg(zs z)
fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，f = fg – a 也是有势 力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。
C1.4.1 等加速直线运动
设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动 1. 体积力分量
f x = -a , f y = 0 , fz = -g
C1.4.1 等加速直线运动(3-2)
2. 压强分布 由压强全微分式积分得压强分布式
hw2
22R2
2g
3m
C1.5 均质流体对平壁的压力(2-1)
C1.5 均质液体对平壁的总压力 1. 工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；
结构强度，安全性能，运动规律等。 2. 条件：均质液体，体积力为重力。
C1.5.1 平壁总压力大小 图示斜平壁和坐标系Oxy , O点在 自由液面上，y轴沿斜平壁向下。
或
ax g

z0
-
zs
代入压强分布式，令h = zs－z ，可得
p p0 ρg (z0 z) (z0 zs ) p0 ρg(zs z)
p0 ρgh
证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。
[例C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡(2-1) 已知: 用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=L×b×h=0.6×0.3×0.5m3， 静止 时缸内水位高d =0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。 求: (1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am；
上式成立的充分必要条件是
f y fx , x y
fx fz , fz fy z x y z
即体积力必须有势： f , 为势函数
fx


x
fy


y
fz


z
重力是有势力
fg gk (gz)
因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。
g
z0


z
a g
x
C1.4.1 等加速直线运动(3-3)
3. 等压面
由dp = －ρ(adx+gdz) = 0 ，等压面方程为
ax+gz=C
C不同时得一簇平行斜平面，自由液面(x = 0 , z = z 0 )上C = g z 0 。
设自由液面垂直坐标为z s ，方程为
ax gzs gz0
C1.2.3 流体平衡的条件(2-2)
2. 对正压流体，ρ=ρ(p)
引入一个压强函数
P(
)


dp

dP

dp


fxdx
f ydy
f z dz
上式成立的充要条件也是体积力必须有势。因此正压流体在
重力场中也能保持平衡状态。
均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）在平 衡时，等压面、等势面、等密度面三者重合：

上式适用于全流场，表示总势能守恒。若写成
z p 常数
(b)
g
表示总水头保持不变。
(a) , (b) 式均称为流体静力学基本方程。适用条件：连通的 同种均质重力流体。
C1.3 流体静力学基本方程(2-2)
流体静力学基本方程的常用形式为
z1

p1
g

z2

p2
g
说明两点的测压管水头相等。
p0 ρ g h
证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。
[例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-1)
已知: 一封闭圆筒，高H = 2m，半径R=0.5m，注水高H0 = 1.5 m，压强为 p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速
求: (1）当水面刚接触圆筒顶部时的ω1、pc1 (中心) 及pw1 (边缘) ；
总压力
FyD

ydF gsin
A
y2dA
A
F ghc A gyc Asin
设面积惯性矩
Ix
y2dA
A
可得
yD

Ix yC A
C1.5.2 平壁总压力作用点(4-2)
g

2 3
g
可见 am' ，2a鱼缸横向放置水不易溢出。
C1.4.2 等角速度旋转运动(2-1)
C1.4.2 等角速度旋转运动
设液体以等角速度ω绕中心轴z 轴旋转
1. 体积力 2. 压强分布
fx=ω2x ，fy=ω2y ，fz= －g
dp (2xdx 2 ydy gdz )
积分得
(2 ) 当气体刚接触圆筒底部的ω2、pc 2 及pw 2。
解： 建立坐标系Oxyz ,原点o在底部中心，静止时 z 0 = H 0 。
(1)当边缘水位刚达顶部时， 由自由面方程式
zs

z0

2r 2
2g
取 r = 0.5 m, zs = 2 m, z0 =1 m
[例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-2)
p


2r 2
g(
z )C
2g
设坐标原点在底部中点，自由液面最低点的坐 z = z0 ，压强p = p0 ,可得C = p0+ρg z0 .压强分布式为
p
p0

2r2
g
2g
(z0
z)

标r = 0，
C1.4.2 等角速度旋转运动(2-2)
3. 等压面
由 dp (2xdx 2 ydy gdz ) 0
1 A B2
两式分别除以ρ1 和ρ2 ，再相减可得
( 1 1 )dp 0
1 2
由于ρ1≠ρ2，要使上式成立, 只有dp = 0，证明分界面必为等压面。
讨论：当容器以恒角速度绕中轴旋转，两种液体均处于相对平衡状态 时其分界面也是等压面。
C1.2.2 等压面
C1.2.2 等压面
沿等压面 压强增量为零，即 f dr 0 。或 fxdx f ydy fzdz 0
hc yc sin 为淹深。 F gyc sin A ghc A pc A
F pc A
pc 为形心压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心 压强乘以面积 。
C1.5.2 平壁总压力作用点(4-1)
C1.5.2 平壁总压力作用点
1、积分法
设压强中心为D，由力矩合成法则
p = 0 ,
= 0
3. 对斜压流体ρ=ρ(p，T)，可以证明不能在重力场中保持平 衡。如赤道和极地的大气，大范围的海水等。
[例C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件 大气满足完全气体状态方程
p = RρT
(B1.4.5)
设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相 同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相 差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度 变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合 (见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。
dp ( fxdx fydy fzdz ) ( adx gdz )
p ( ax gz ) C
设坐标原点在液罐底部中点， 静 止时的液位为z 0 , 即 x = 0，z = z 0 ， p = p 0,，可得C = p 0+ρg z 0
压强分布式为
p

p0

ρ
设密度分别为ρ1 和ρ2 的两种互不相混的液体放在同一容器中，试证明当 它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。
解： 在分界面上任取相邻 d r 的两点 A 和 B ，dp = pA- pB 。
对液体1 d p = ρ1 (fx d x + fy d y + fz d z ) 对液体2 d p =ρ2 (fx d x + fy d y + fz d z )
加速度表达式为
a d z g x
(1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位（－L / 2, h）相应的加速度为
am

d h L / 2
g

0.4 0.5 0.3


1 3
g
(2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（－b / 2, h）相应的加速度为
am'

d h b / 2

0.40.5 0.15
专题篇
C1. 流体的平衡 C2. 不可压缩无粘性流体平面势流 C3. 不可压缩粘性流体内流 C4. 不可压缩粘性流体外流 C5. 可压缩流体流动基础