i<j n
∗ ∗ Uβj ] sin2 Xij Re[Uαi Uβi Uαj
+2
i<j
∗ ∗ Im[Uαi Uβi Uαj Uβj ] sin 2Xij
(3.6)
其中
2 (m2 ∆m2 L/E i − mj )L ij Xij = = 1.27 2 4E eV m/M eV
(3.7)
这里L = t为中微子产生处（να ）到探测点（νβ ）的距离。等式（3.6）的第二行 是CP守恒的，第三行是CP破坏的，其对于中微子和反中微子来说会相差一个负 号。此外，中微子不同味的转化几率具有振荡行为，振荡长度为 Losc 0,ij = 4πE ∆m2 ij (3.8)
α1 α2
(3.2)
其中Rij (θij )表示在二维平面的转动，转动角为θij 。Uδ = diag (eiδ/2 , 1, e−iδ/2 ),以
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第三章 中微子基本理论
及sij = sin θij ，cij = cos θjk [49]。上式适用于描述Majorana中微子的质量本征态 和味道本征态之间的幺正变换，若中微子为Dirac中微子，则P = diag (1, 1, 1)。 如果把中微子的代数推广到更一般的情况，例如N 代。这时用来描述中微 子混合的矩阵就需要N (N − 1)/2个混合角，(N − 1)(N − 2)/2个Dirac相位。若 中微子是Majorana型的，则还需(N − 1)个Majorana相位。对此问题的详细讨论 可见教材[50]。 需 要 提 及 的 是 ， 除 了 上 述PMNS类 型 的 参 数 化 以 外 ， 也 还 存 在 其 它 类 型 的 参 数 化 和 混 合 。 例 如Wolfenstein参 数 化[52]，Triminimal参 数 化[51]和Tribimaximal混合[53]等。
表 3.1 中微子混合参数的最佳拟合值及1σ ，2σ ，3σ 置信区间（Fogli等[58]）
参数
最佳拟合值及 1σ 置信区间
2σ 置信区间
3σ 置信区间
−5 2 ∆m2 21 (10 eV ) −3 2 |∆m2 31 |(10 e振荡
3.1.1 中微子味混合
中微子基本理论
迄今为止，包括太阳、大气、核反应堆、加速器中微子振荡实验都以确凿 的证据表明中微子具有质量，不同味的中微子之间存在混合。从理论角度来 看，由于中微子有质量，我们不能再用对中微子场进行重定义的办法消除带电 轻子对角化对带电流的影响。同夸克部分类似，轻子部分的带电流相互作用变 为（在质量本征态的情况下）
3.1.2 中微子在真空中的振荡
如果中微子有质量且存在混合，中微子将在真空中发生振荡。换句话说， 由电弱相互作用产生的中微子态并不是质量本征态，而是味本征态。由等式 （3.1）可得到中微子的味本征态和质量本征态的关系1
n
|να >=
i=1
∗ Uαi |νi >
(3.3)
α = e, µ, τ 为味指标。假定初始产生的中微子态由上式描述,则在传播一定距 离L以后（或者等价地，传播了一定的时间后），中微子的态变成
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第三章 中微子基本理论
物质中的质量本征态（H 的本征态）同味本征态的关系为 ˜ (x)ν m ν=U
( x) ，µi (x)为此时的有效中微子质量。 它相应的本征值为 µi2 E
2
(3.18)
对于两代中微子（να , νβ ）的情形，有效中微子质量为 µ2 1,2 (x) =
2 m2 1 1 + m2 + E [Vα + Vβ ] ∓ 2 2
将上述各类贡献全部考虑进来，假定标准模型的三代活性中微子只参加纯粹的 标准模型相互作用，并且中性物质由电子，质子和中子组成，我们可以写出三 代活性中微子在该物质中的演化方程。形式同（3.12）一样，U ν 变成U ，有效 势则变成 √ V = diag (± 2GF ne (x), 0, 0) = diag (Ve , 0, 0) (3.17)
[∆m2 cos 2θ − A]2 + [∆m2 sin 2θ]2 (3.19)
˜ 可成与真空中 其中A = 2E (Vα − Vβ )，θ为在真空中两代中微子之间的混合角。U 两代中微子混合一样的形式，其混合角为 tan 2θm = ∆m2 sin 2θ ∆m2 cos 2θ − A (3.20)
+µ JW,L =
1 νlL γα lL 2 l=e,µ,τ
3
νlL =
j =1
Ulj νjL
(3.1)
U 是描述中微子混合的3 × 3的幺正矩阵。它可以用三个角和一系列相角来参 数化。若中微子是Dirac粒子，则只需要一个Dirac相角，若中微子为Majorana粒 子，除了需要一个Dirac相角外，还需要两个额外的Majorana相角。此时的中微 子混合矩阵就是我们熟知的PMNS 矩阵[3]。 V
(3.12)
2 2 其中ν = (ν1 , ν2 , · · · , νn )T ，Hm = 1/(2E )diag(m2 1 , m2 , · · · , mn )是动能的哈密顿
量，V 是用来描述中微子和物质向前相干相互作用的有效势，U ν 则是V 的n × n方块子矩阵，它相应于n个非相对论性的中微子。 考虑物质中的电子中微子νe 的演化。该物质由电子，质子和中子组成,相应 的数密度为ne , np , nn 。描述这一相互作用的低能有效哈密顿量为 1 GF (N ) (+) (x) (x) + J (N )α (x)Jα HW = √ J (+)α (x)Jα 4 2 (3.13)
n
|να >=
i=1
Uαi |νi >
(3.9)
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第三章 中微子基本理论
类似的，可以得到反中微子之间的味转化几率
n n ∗ Uαi Uβj < νj |νi (t) > |2 i=1 j =1
Pα ¯ = | < νβ |να (t) > | = | ¯β
(3.10)
在这里，Pα ¯α ¯ 表示反中微子να 到νβ 的转化几率。由（3.10）有Pβ ¯ = Pαβ ，该等 ¯β 式正好是CPT守恒的结果。特别的，Pα ¯α ¯ = Pαα 。
i
˜αi U ˜βi (L)exp(− i U 2E
L 0
µ2 i (x )dx |
(3.21)
关于中微子在不同类型物质中的振荡几率的讨论，可参见[54]。
3.1.4 中微子混合参数的整体拟合
各类中微子振荡实验给出了中微子的质量平方差和混合角。在太 阳和大气中微子实验中观测到了两个不同的振荡频率，这点为后来 的KamLAND，K2K以 及MINOS实 验 进 一 步 证 实 。LSND[55]实 验 表 明 可 能 存 在第三个质量差，但这点没有得到KARMEN等实验的证实[56]。MiniBooNE实 验[57]最近声称，在反中微子中有一些可能支持LSND效应的迹象，而在中微 子中却没有观测到振荡。两个中微子振荡频率意味着在振荡中至少需要三个
3.1.3 中微子在物质中的振荡
当中微子在物质中传播，同物质的相互作用会改变中微子的性质。例如中 微子的动量和能量。这些效应既可以是相干的，也可以是非相干的。对于中微 子和质子的非相干非弹性散射过程，其特征散射截面非常小： σ∼ G2 E 2 Fs ∼ 10−43 cm2 ( ) π M eV (3.11)
可以看出，取共振条件A = ∆m2 cos 2θ时，混合角取极大值，相应的中微子在 物质中的混合为最大混合，此时混合角为θm = 450 。这意味着在物质中中微子 味之间的混合可以被放大，即便真空中的混合角很小，也可以利用物质效应将 混合角变大，从而使振荡现象变得明显易于观察。这就是常说的MSW效应[6]。 同中微子在真空中的振荡类似，中微子在物质中绝热演化的振荡振幅可以 写为（忽略掉CP破坏） Pαβ |
这里的+和−分别对应着中微子和反中微子的情形，ne (x)是物质中电子的数 密度，通常随着中微子传播的轨道发生变化。例如，在地核它的值为Ve ∼ 10−13 eV，太阳中心为Ve ∼ 10−12 eV。由于中性流部分的贡献是对角的，它仅贡 献一个整体的相位不能被试验所观察到，故在演化方程中将其略去。
1
注意：等式（3.1）给出的是中微场之间的关系，当转换为中微子态的关系时会相差一个复
共轭
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第三章 中微子基本理论
E 。进而可以得到中微子不同味的转化几率
n n ∗ Uαi Uβj < νj |νi (t) > |2 i=1 j =1 n
Pαβ = | < νβ |να (t) > | = | = δαβ − 4
n
|να (t) > = |νi (t) > = e
∗ Uαi |νi (t) >, i=1 −iEi t
|νi >
(3.4)
由于中微子质量很小，故是相对论性的。由此有 Ei =
2 p2 i + mi
p+
m2 i 2E
(3.5)
Ei 和mi 分别表示中微子质量本征态νi 的能量和质量。更加的，有Ei = pi = p =
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第三章 中微子基本理论
费米流的具体形式为 J (+)α (x) = νe (x)γα (1 − γ5 )e(x) J (N )α (x) = νe (x)γα (1 − γ5 )νe (x) − e ¯(x)[γα (1 − γ5 ) − 4 sin2 θw γα ]e(x) +¯ p(x)[γα (1 − gA γ5 ) − 4 sin2 θW γα ]p(x) −n ¯ (x)γα (1 − gA γ5 )n(x) gA , gA 分别表示质子和中子的轴矢耦合系数。 对于带电流相互作用，它对中微子势能贡献的有效势为 Vc = √ 2GF ne (3.15)