南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考数学(理科创新班) 试题总分：150 时量：120 考试时间2016年12月10 日由 株洲市南方中学 醴陵市第一中学 联合命题姓名： 考号：一、选择题1.命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤2．已知ABC ∆中，1,a b ==45B = ，则角A 等于 ( )A ．150B ．90C ．60D ．303.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ） A.1 B.53C.2D.34．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．6B ．18C ．2 3D ．3 35.一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为(－12，13)，则a ＋b 的值是( )A ．－10B ．－14C ．10D ．14 6.由曲线x xy y 32,==围成的封闭图形面积为( )（A ）112(B)14(C)13(D)7127.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.338.设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与ex 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．ex 1f (x 2)＝ex 2f (x 1) D ．ex 1f (x 2)与ex 2f (x 1)的大小关系不确定11. 已知双曲线1:22=-nmC y x,曲线()exx f =在点(0,1)处的切线方程为022=+-ny mx ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±=12.设c bx ax x x f +++=23)(,又k 是一个常数,已知当0<k 或4>k 时,0)(=-k x f 只有一个实根, 当40<<k 时,0)(=-k x f 有三个相异实根,现给出下列命题: (1) 04)(=-x f 和0)(='x f 有且只有一个相同的实根. (2) 0)(=x f 和0)(='x f 有且只有一个相同的实根. (3) 03)(=+x f 的任一实根大于01)(=-x f 的任一实根.(4) 05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 的任一实根. 其中错误命题．．．．的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13. 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围 。

14. 已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的点，|AF|+|BF|=5,则 线段AB 的中点的横坐标为 。

15.已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值 。

16. 已知数列{2,21,31≥==-n n a n n ，n S 是该数列的前n 项和，若n S 能写成p t (,t p *∈N 且1,1>>p t )的形式，则称n S 为“指数型和”．则}{n S 中是“指数型和”的项的序号和为 。

三、解答题17. 设命题p ：“方程012=++mx x 有实数根”；命题q ：“01)2(44,2≠+-+∈∀x m x R x ”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18.在平面四边形ABCD 中，772cos 321=∠===CAD AB CD AD ，，，。

（1）求AC 的长；（2）若147cos -=∠BAD ，求ABC ∆的面积。

B19.已知数列{n a }，若1a ,2a +1, 3a 成等差数列，数列{n a +1}为公比为2的等比数列。

（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++n n T n 的最小正整数n ．20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，设底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD ． （1）求证：PC ⊥BD ；（2）过BD 且与直线PC 垂直的平面与PC 交于点E ，当三棱锥E ﹣BCD 的体积最大时，求二面角E ﹣BD ﹣C 的大小．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，直线l 与椭圆相交于,A B两点，当AB x ⊥轴时，ABF ∆的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 过点(4,0)M -，求当ABF ∆面积最大时直线AB 的方程.22.已知函数.(1)若,求函数的极值；（2）若时，证明(3)当时,不等式恒成立,试证明南方中学、醴陵一中2016年下学期高二年级联考数学(理科创新班)参考答案一、选择题二、填空题13．k ≥1. 14. 2315.6 16.3 三、解答题17.解：对于命题P ：若方程012=++mx x 有实根，则2140m ∆=-≥， 解得2m ≤-或2m ≥，即p :2m ≤-或2m ≥；……………………（2分）对于命题去q ：若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则016)2(1622<--=∆m ， 解得31<<m ，即31:<<m q ．………………………………………（4分） 由于若p q ∧为假，则p ，q 至少有一个为假；又q ⌝为假，则q 真．所以p 为假， 即p 假q 真，……………（7分） 从而有2213m m -<<⎧⎨<<⎩解得12m <<．所以m 的范围是(1,2)．…………（10分）18.解：（1）在ACD ∆中，由余弦定理可列得：77212142⨯⨯⨯-+=AC AC ，即：037742=--AC AC ，………………3分解得：7=AC .………………5分 （2）由772cos =∠CAD ，易得：73sin =∠CAD ，………………6分由147cos -=∠BAD ，易得：7233sin =∠BAD ，………………7分 故CAD DAB CAD DAB CAD DAB CAB ∠∠-∠∠=∠-∠=∠sin cos cos sin )sin(sin=73)147(72733⨯--⨯=23，………………10分 故237321sin 21⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆CAB AC AB S ABC =4213.………………12分19.（1） 21nn a =-（*n N ∈）.（5分）20．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ， 由此推出PA ⊥BD ， 又AC∩PA=A，∴BD ⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，所以推出PC ⊥BD ． （2）设PA=x ，三棱锥E ﹣BCD 的底面积为定值，求得它的高，当，即时，h 最大值为，三棱锥E ﹣BCD 的体积达到最大值为．以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，则，令E （x ，y ，z ），，，得，∴，设是平面EBD 的一个法向量，，，则，得．又是平面BCD 的一个法向量，∴，∴二面角E ﹣BD ﹣C 为．21.(1)设椭圆的右焦点为'F ，由椭圆的定义， 得''||||||||2AF AF BF BF a +=+=，……1分而ABF ∆的周长为''||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++=，……3分 当且仅当AB 过点'F 时，等号成立，所以48a =，即2a =，又离心率为12，所以1,c b ==5分 所以椭圆的方程为22143x y +=.……6分（2）设直线AB 的方程为4x my =-，与椭圆方程联立得22(34)24360m y my +-+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则222576436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，……7分且1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1213||2ABF S y y ∆=∙-=②……9分令0)t t =>，则②式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==≤=++当且仅当163t t =，即m =. ……11分所以直线AB 的方程为4x y =-或4x y =-……12分． 22.解：(1)由题意得,∵函数的定义域为,由,.∴函数有极小值。

………………4分 （2）易知要证即证在上恒成立，令………………8分(3)∵,∴.当时,,∴.即时,恒成立.又由（2）知在上恒成立,∴在上恒成立.当时取等号, ∴当时,,∴由上知.………………12分。