2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M
B =（ ）
A. )1,2(-
B. )1,1(-
C. )3,1(
D. )3,2(- （2）若0tan >α，则
A. 0sin >α
B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α （3）设i i
z ++=
11
，则=||z A.
21 B. 22 C. 2
3 D. 2 （4）已知双曲线)0(13
2
22>=-
a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.
26 C. 2
5
D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是
A. )()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB
A. B.
AD 21 C. BC 2
1
D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π
+
=x y ,④)4
2tan(π
-=x y 中，最小正周期
为π的所有函数为
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )
A.
20
3
B.72
C.165
D.158
（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A
,是C 上一点，x F A 0
4
5=，则=x 0
（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =
A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3
（12）已知函数32
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是
A.()2,+∞
B.()1,+∞
C.(),2-∞-
D.(),1-∞-
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.
（15）设函数()113,1,,1,
x e x f x x x -⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.
（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角
60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知
山高100BC m =，则山高MN =________m
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和. （18）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产
品至少要占全部产品的80%”的规定？
(19)(本题满分12分)
如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB
求三棱柱111C B A ABC -的高.
（20） （本小题满分12分）
已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；
（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积
（21）（本小题满分12分）
设函数()()2
1ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;
（2）若存在01,x ≥使得()01
a
f x a <
-，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是
O 的内接四边形，AB 的延长线与
DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.
（I ）证明：D E ∠=∠；
（II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且M
B M
C =，证明：ABC ∆为等边三角形.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t
y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若,0,0>>b a 且
ab b
a =+1
1 （I ）求3
3
b a +的最小值；
（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
参考答案
一、选择题
1-5. BABDA 6-10. CCBDC 11-12. BA 二、填空题
13.
2
3
14. A 15. (,8]-∞ 16. 150 三、解答题 17. 解：
（1）因为24,a a 是方程2
560x x -+=的两个根，
且{}n a 使递增的等差数列， 所以2313412 (2222)
n n n n n s +++=
++++ 设首项为d ，公差为d ，依题意可得
11233a d a d +=⎧⎨
+=⎩ 解得132
1
2
a d ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以22n n a += （2）由（1）知
1222
n n n a n ++= 所以2313412 (2222)
n n n n n S +++=
++++ ① 341213412
(22222)
n n n n n S ++++=++++ ② ①-②得
3412131112
(242222)
n n n n n S ++++=+++++ 所以，2
2
(4)16x y +-= 18.解：
（1）
（2）质量指标值的样本平均数为
806902610038110221208
100
100
x
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
==
质量指标值的样本方差为
（3）依题意38228
100
++
= 68％ < 80％
所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。

19.
（1）证明：
因为AO⊥平面
11
BB C C，
（2）解：
因为AO⊥平面
11
BB C C，所以AO⊥BO，
20．解：
（1）圆的标准方程，2
2
(4)16x y +-=
设24
,2AB CM y y k k x x --==-，圆心(0,4)C ， 则24
,2AB CM y y k k x x
--=
=- 所以24
12AB CM y y k k x x
--=
=--
化简得，2
2
2680x y x y +--+=
（2）依题意，||OP =所以，M 也在2
2
8x y +=上
22.（本小题满分10分）
（1）证明：由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠
又
CB CE =，CBE E ∴∠=∠
所以D E ∠=∠
24.。