高考模拟数学试卷理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3,1{=A ，},21)1lg(0|{Z x x x B ∈<+<=，则=B A I A ．}1{ B ．}3,1{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,1{ 2．已知复数133iz i+=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅＝ A ．21 B ．21-C ．1D ．－13．已知向量(3,2)a =-r ，)1,(-=y x 且a r ∥b r ，若,x y 均为正数，则yx23+的最小值是A ．24B ．8C ．38 D ．354．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同， 平均数也相同，则图中的m,n 的比值=nm A ．31B ．21 C ．2 D ．35．已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则=⋅131b b A ．4 B ．8 C ．16 D ．25 6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数 书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今 仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了23 4甲 乙 9 4 m 2 5 n 1 3 2利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，则输出v 的值为A. 1311-B. 21311-C. 21312-D. 21310-7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ， 若()(sin sin )a b A B -+(sin 3sin )c C B =+，则角A 等于 A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π 8．给出下列四个命题：①若样本数据1210,,,x x x L 的方差为16，则数据121021,21,,21x x x ---L 的方差为64；②“平面向量,a b v v 夹角为锐角，则a b ⋅v v＞0”的逆命题为真命题；③命题“(,0)x ∀∈-∞，均有1x e x >+”的否定是“0(,0)x ∃∈-∞，使得0x e ≤01x +”；④1a =-是直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行的必要不充分条件．其中正确的命题个数是 A ．1B ．2C ．3D ．49．函数()()11x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为 A ．3(8)6π+ B ．533π+ C ．3(4)3π+ D ．3(43)3π+ 11．已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A ，(,2)B p p ,且||PA 的最小值为15，则||BF 等于 A ．4 B ．29 C. 5 D ．211 12．定义：如果函数()f x 的导函数为()f x '，在区间[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<使得ABCD()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称()f x 为区间[],a b 上的"双中值函数"．已知函数()32132mg x x x =-是[]0,2上的"双中值函数"，则实数m 的取值范围是A ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),-∞+∞C ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．48,33⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知1sin 24α=，则2π2cos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．14．若实数x ，y 满足2100 0x y x y x -+≥+≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y =-的最大值是__________.15．如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成 的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概 率为31,若直角三角形的两条直角边的长分别为)(,b a b a >,则=ab. 16．二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 320a x dx =⎰________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<. 18．（本小题满分12分）某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ．已知甲车间执行标准A ，乙车间执行标准B 生产该产品，且两个车间的产品都符合相应的执行标准．（1）已知甲车间的等级系数1X 的概率分布列如下表，若1X 的数学期望E(1)=6.4，求a ，b 的值；15 6 7 8 P0.2a b01．（2）为了分析乙车间的等级系数2X ，从该车间生产的火腿中随机抽取30根，相应的等级系数组成一个样本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用该样本的频率分布估计总体，将频率视为概率，求等级系数2X 的概率分布列和均值；（3）从乙车间中随机抽取5根火腿，利用（2）的结果推断恰好有三根火腿能达到标准A 的概率． 19．（本小题满分12分）如图，已知DEF △与ABC △分别是边长为1与 2的正三角形，AC DF ∥，四边形BCDE 为直角梯 形，且DE BC ∥，BC CD ⊥，点G 为ABC △的 重心，N 为AB 中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为 线段AF 上靠近点F 的三等分点． （1）求证：GM ∥平面DFN ； （2）若二面角M BC D --的余弦值为47，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值． 20.（本小题满分12分）如图，()10N ,是圆M ：()22116x y ++=内一个定点， P 是圆上任意一点．线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹E 是什么曲线？并求出其轨迹方程；（2）过点()01G ,作直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求ABD △的面积S 的最大值． 21.（本小题满分12分）已知函数()21ln ,2f x x ax x a R =-+∈．（1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明1251x x -+≥ 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos sin x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），圆2C 与圆1C 外切于原点O ，且两圆圆心的距离12||3C C =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）过点O 的直线1l 、2l 与圆2C 异于点O 的交点分别为点A 和点D ，与圆1C 异于点O 的交点分别为点C 和点B ，且12l l ⊥.求四边形ABCD 面积的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲已知函数()31f x x x =++-的最小值为m .（1）求m 的值以及此时的x 的取值范围；（2）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明：()2q p r +≤. 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACBACBDBDABD13．54 14．1 15. 352- 16. 13 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111*********...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L .18.解（1）()150********E X a b =⨯+++⨯=...，即6746a b +=.①·········2分 又02011a b +++=..，即07a b +=.②·········3分 联立①②得674607a b a b +==⎨⎩+⎧..，解得0304a b ==⎧⎨⎩..．·········4分 （2）由样本的频率分布估计总体分布，可得等级系数的分布列如下：2X3 4 5678P0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1·······7分()230340250260170180148E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.......，即乙车间的等级系数的均值为4.8．·········9分 （3）3235115C 2216P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．·········12分19.（1）解：在ABC △中，连AG 延长交BC 于O ，因为点G 为ABC △的重心所以23AG AO =，且O 为BC 中点，又23AM AF =u u u u r u u u r ， 所以23AG AM AO AF ==，所以GM OF ∥；··········2分 又N 为AB 中点，所以NO AC ∥，又AC DF ∥， 所以NO DF ∥，所以O ，D ，F ，N 四点共面，··········4分 又OF ⊂平面DFN ，GM ⊄平面DFN ， 所以GM ∥平面DFN ．··········5分 （2）由题意，AG ⊥平面BCDE ，所以AO BC ⊥，平面ABC ⊥平面BCDE ，且交线为BC ， 因为BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，又四边形BCDE 为直角梯形，2BC =，1DE =，所以OE CD ∥，所以OE ⊥平面ABC 因为AC DF ∥，DE BC ∥，所以平面//ABC 平面DEF ， 又DEF △与ABC △分别是边长为1与2的正三角形，故以O 为原点，OC 为x 轴，OE 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，设CD m =，则()1,0,0C ，()1,,0D m ，()0,0,3A ，13,,2F m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B -，13,0,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，··········7分 因为23AM AF =u u u u r u u u r ，所以1223,,333m M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0BC =u u ur ，4223,,333m BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ， 设平面MBC 的法向量(),,a b c =n ，则0BC BM ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u u r n n ，取()0,3,m =-n ，··········8分 平面BCD 的法向量()0,0,1=υ，··········9分 所以二面角M BC D --的余弦值cos θ⋅⋅==n n υυ2743m =+， 213m =，··········10分 又523,,636m MN ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()0,,0CD m =u u u rcos ,MN CD <>=u u u u r u u u r NM CD NM CD⋅=⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r 22774m =+； 直线MN 与CD 所成角的余弦值为27．··········12分20.解（1）由题意得42QM QN QM QP MP MN +=+==>=， 根据椭圆的定义得点Q 的轨迹E 是以M 、N 为焦点的椭圆，·········2分 2a ∴=，c =1b ∴=，∴轨迹方程为22143x y +=．·········4分 （2）由题意知1222ABD ABO S S AB d d AB ==⨯⨯⋅=△△（d 为点O 到直线l 的距离），设l 的方程为1y kx =+，联立方程得221 143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得()2234880kxkx ++-=，设()11A x y ,，()22B x y ,，则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+，·········6分则234AB k==+，·········8分又d =·········9分234ABDS d AB k∴==+△，·········10分t =，由20k ≥，得1t≥，21212ABD S t t t∴==++△，1t ≥，易证12y t t =+在()1+∞,递增，123t t∴+≥， 3ABD S ≤△，ABD ∴△面积S ．·········12分 21.（1）()()()211ln 12g x f x ax x ax x ax =--=-+-+，所以()()211ax a x g x x-+-+'=，当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x >，即()g x 在()0,+∞单调递增，当0a >时，()()11a x x a g x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭'=，令()0g x '=，得1x a =，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，综上，当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间；当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当2a =-时，()2ln ,0f x x x x x =++>，由()()12120f x f x x x ++=可得21x x ⋅+22121122ln 0x x x x x x ++++=，即()()212121212ln x x x x x x x x +++=-，令()12,ln t x x t t t ϕ==-，则()111t t t tϕ-'=-=，则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()212121x x x x +++≥，又由120,0x x >>可知120x x +>，故12x x +≥． 22．解：（Ⅰ）由圆1C 的参数方程1cos sin x ty t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），得22(1)1x y ++=，-----------1分 所以1(1,0)C -，11r = 又因为圆2C 与圆1C 外切于原点O ，且两圆圆心的距离12||3C C =， 可得 1(2,0)C ，22r =，则圆2C 的方程为22(2)4x y -+=---------3分所以由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆1C 的极坐标方程为2cos ρθ=-，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=--------------5分 （Ⅱ）由已知设1A(,)ρθ，则由12l l ⊥ 可得2B(,)2πρθ+，3C(,)ρθπ+，43D(,)2ρθπ+由（Ⅰ）得12344cos 2cos()2sin 22cos()2cos 34cos()4sin 2ρθπρθθρθπθρθπθ=⎧⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=+=⎪⎩，所以132411()()18sin cos 9sin 222ABCD S AC BD ρρρρθθθ=⋅=++==四边形------8分 所以当sin 21θ=时，即4πθ=时，ABCD S 四边形有最大值9-----------------10分23．（Ⅰ）依题意，得()31f x x x =++- 314x x ≥+-+=，故m 的值为4. ------3分 当且仅当()()310x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，即x 的取值范围为[]3,1-.------5分（Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故()()22224p qqr +++=.因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立， 222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立，所以()()22224p qqr +++= 22pq qr ≥+，故()2q p r +≤，当且仅当p q r ==时等号成立. -----10分高考模拟数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。