第三章 电力系统运行的灵敏度分析及应用第一节 灵敏度分析分析在给定的电力系统运行状态下，某些量发生变化时，会引起其他变量发生多大变化的问题。

这一问题当然可通过潮流计算来解决，但计算工作量大。

采用灵敏度分析法，计算量小，并可揭示各量之间的关系。

但变化量大时，灵敏度分析法的精度不能保证。

一、灵敏度分析的基本方法 1、常规计算方法电力系统稳态运行的潮流方程一般性描述为：⎩⎨⎧==),(0),(u x y y u x f （3-1） x 为状态变量，如节点电压和相角；u 为控制变量，如发电机输出功率或电压；y 为依从变量，如线路上的功率。

实际上，（3-1）中0),(=u x f 就是节点功率约束方程，),(u x y y =是支路功率与节点电压的关系式。

设系统稳态运行点为),(00u x ，受到扰动后系统的稳态运行点变为),(00u u x x ∆+∆+。

为了求出控制量变化量与状态量变化量之间的关系，在),(00u x 处将（3-1）按泰勒展开并取一次项，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆∂∂+∆∂∂+=∆+=∆∂∂+∆∂∂+=∆+∆+u u y x x y u x y y y u uf x x f u x f u u x x f ),(0),(),(0000000 （3-2）将⎩⎨⎧==),(0),(00000u x y y u x f 代入，有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆∂∂+∆∂∂=∆=∆∂∂+∆∂∂u u y x x y y u uf x x f0 （3-3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∆∂∂+∆∂∂=∆∆=∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∆-uS u u y S x y u u y x x y y u S u u f x f x yu xu xu 1（3-4） 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=-u y S x y S u f x f S xu yu xu 1（3-5） 为u 的变化量分别引起x 和y 变化量的灵敏度矩阵。

如果控制变量为各节点的有功、无功设定量，则[]1...11diag uf=∂∂，所以，xu S 就是潮流方程的雅可比矩阵的逆。

x u ∆∆,为两个不同状态间的变化量。

2、准稳态灵敏度计算方法 考虑到电力系统运行的实际：（1） 初始控制变量的改变量，与到达新稳态的最终改变量不同； （2） 一个控制量的变化可能使另一些控制量也发生变化。

所以控制变量的初始改变量与最终改变量不同，表示为：)0(u F u ∆=∆u （3-6） 由此得到准稳态的灵敏度关系：⎪⎩⎪⎨⎧∆=∆=∆=∆∆=∆=∆=∆)0()0()0()0(u S u F S u S y uS u F S u S x R yu u yu yu R xu u xu xu （3-7） 第二节 潮流灵敏度矩阵1、发电机母线电压改变量G V ∆与负荷母线电压改变量D V ∆之间的灵敏度关系节点注入无功的平衡量方程Q)cos sin (Q i i =+≈--∑∑∈∈ij ij j ij ij ij ij ij j i B V B G V V θθ （3-8）上式简化依据了电力系统结构和运行的特点。

根据灵敏度分析的基本方法，将（3-8）在当前状态点泰勒展开舍去高次项，的受到扰动后各变量变化量之间的关系∑∑∈∈∆-=∆=∆+∆ij jij i ij j ij i V B Q V B Q 0写成矩阵形式，并将负荷节点与发电机节点分开排列⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-G D G D GG GDDG DDQ Q V V B B B B （3-9） （3-9）式与P-Q 分解法V-Q 迭代的修正方程式形式一致。

但要注意在这里D Q ∆、G Q ∆是发电机和负荷的变化量。

即（3-9）式表示了系统新稳态相对于旧稳态控制量的变化量与状态量的变化量之间的关系。

假定G V 调整后，负荷的无功功率不变化，即0Q =∆D ，则式（3-9）第一式为：0V B V B =∆+∆G DG D DD变换得G DG G DG DD D V S V B B V ∆=∆-=∆-1（3-10）其中DG DD DG B B S 1--= （3-11）为D V ∆与G V ∆之间的灵敏度矩阵。

通过灵敏度矩阵可以知道哪些发电机对控制负荷母线电压最有效，从而实现对负荷电压的定量控制。

几种情况讨论：（1）只调整部分发电机的电压，无功充足能维持电压不变（G V ∆=0）的发电机对（3-9）式没贡献，可从DG B 中划去发电机电压能维持不变的节点对应的列。

（2）被控量为部分负荷节点，即其它负荷节点的电压不关心，可从DD B 、DG B中高斯消去不关心电压变化的负荷节点。

（3）无功已达界的发电机，不能作为控制变量，也不能维持节点电压不变，高斯消去这些发电机的节点。

这些节点的0=∆G Q 。

高斯消去是等值变换，直接划去是不考虑它的影响。

2、发电机母线电压改变量G V ∆，负荷母线电压改变量D V ∆与发电机输出无功的改变量G Q ∆之间的灵敏度关系将（3-9）变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆-G D GG GDDG DDG D GG GDDG DDG D Q Q R R R R Q Q B B B B V V 1（3-12） 假定发电输出无功改变时，负荷的无功功率不变，即0Q =∆D ，有G DG D Q R V ∆=∆ （3-13） G GG G Q R V ∆=∆ （3-14）DG R 、GG R 是灵敏度矩阵。

几种情况讨论：（1）不是控制变量的PV 节点，其电压可维持不变，可直接划去对应的行和列。

（2）不是控制变量的PQ 节点，输出无功不变，当电压会发生变化，可将对应节点高斯消去。

（3）不关心的负荷节点，直接划去。

3、负荷母线电压改变量D V ∆与变压器变比改变量t ∆之间的灵敏度关系 将节点无功平衡方程重写如下Q)cos sin (Q i i =+≈--∑∑∈∈ij ij j ij ij ij ij ij j i B V B G V V θθ其中ij B 是变压器变比的函数，不考虑节点注入无功的变化，将变压器变比作为控制变量，节点电压作为被控变量，写出灵敏度方程0=∆∂∂+∆∑∑∈∈ij lj ljijjij jijt t B VV B （3-15）上式中ij t 为之路j i ,的变压器变比。

写成矩阵形式，包括所有负荷节点，并假定发电机母线电压不变，即认为发电机无功充足，可维持电压不变。

0=∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∆t V B j ij ij D V t B （3-16）即[]t B V ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-=∆-j ij ijD V t B 1 （3-17） B 仅包含负荷节点。

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂j ij ij V t B 为（3-15）式中第二项所组成的矩阵，行对应负荷节点，列对应可调变压器支路。

每列中只有两个非零元素，分别在变压器支路的两个端点上。

如果变压器支路有一个端点为PV 节点，则由于PV 节点电压不变，所以对应该变压器的支路只有一个非零元素。

第三节 分布因子分析节点注入有功功率变化、支路开断（结构变化）与支路潮流变化的灵敏度。

1、支路开断分布因子分布因子：支路l 基态有功潮流为l P ，支路l 开断引起支路k 功率变化量为l k P ∆，两者之间的关系表示为：l l k l k P D P -=∆ （3-18）l k D -为分布因子。

相似与无功平衡方程，由有功平衡方程可得节点有功注入变化量与节点电压相角变化量之间的灵敏度方程0P X θθB P ∆=∆∆=∆或 （3-19）0B 是以x1为支路参数建立的导纳矩阵，X 是0B 的逆。

考虑一条支路),(j i l 断开的情况。

如图，假定支路开断不引起节点注入功率的变化，则支路开断后，新网络节点的注入功率变化量为[]0.........0llP P -=∆P （3-20）其中，节点i 的改变量l l i i P P P P =--)(，节点j 的改变量l l j j P P P P -=+-)(。

（3-20）可表示为：[]l l l T P P M P =-=∆0...1...1...0 （3-21）l M 是节点-支路关联列矢量，行对应节点号，支路l 离开节点元素为1，进入节点元素为-1，节点与支路无关元素为0。

新网络的导纳矩阵变为T l l l x M M B 10--，开端后节点电压相角的变化量由（3-19）得)(110P M M B θ∆-=∆--T l l l x （3-22）利用矩阵求逆辅助定理T ll l Tl l l T l l T l l l T l l T l l l c x x x ηηX XM XM M XM X B M M B M M B B M M B -=--=--=---------111101010110)()()( （3-23）其中1P2P i Pj Pn Pl PN[][][][]ijjj ii jj ij ji ii Tjn in jjij ji ii j i Tl T l l l l l l l l T l l ll X X X X X X X X X X X X X X X X x X x c 20...1...1...0.........0...1...1...00...1...1...0)()(1111-+=+--=-----=--==-=-==----X XM M XM M XM ηl l X -为在原网络支路l 两端节点i 注入单位电流，节点j 流出单位电流，其它节点注入电流为0的情况下，节点i 与节点j 的点位差，定义为端口j i -的自阻抗。

支路l 开断后，支路),(n m k 上有功潮流的变化量l l k l klTl l l T k k T k lkP D P x c x P -=-=∆=∆M ηηX M θM )( (3-24)k M 为支路k 的节点-支路关联矢量。

支路k 与支路l 之间的支路开断分布因子是ll l k l k k l l l l l l k l k kl l l l Tl l T k l T k kl Tl l l T k lk x X x X x x X X X X x x X x c D /1/)/()/()(---------=--=--=-=XM M XM M XM M M ηηX M （3-25）其中[][][][]mjni nj mi Tnjmj ni mi n m Tl T k l k X X X X X X X X X X X --+=----=--==- 0...1...1...0............ 0...1...1...00...1...1...011X XM M为在原网络支路l 两端节点i 注入单位电流，节点j 流出单位电流，其它节点注入电流为0的情况下，支路k 两端节点m 与节点n 的点位差，定义为端口j i -与端口n m -之间的互阻抗。