九年级二次函数压轴题专题训练(含答案)方法:面积法,化斜为直,韦达定理,几何变换等.1,如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：22abxaxy-+=关于y轴对称且有最小值1-。

（1）求抛物线C1的解析式；（2）在图1中抛物线C1顶点为A，将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，求直线l的解析式．（3）如图2，先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长；（1）∴y=x2﹣1．‥‥‥‥‥‥‥2分（2）依题意可求出抛物线C2的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1，∵直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，∴定点M为（2，4），‥‥‥‥‥‥‥4分①经过定点M（2，4），与y轴平行的直线l：x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．②经过定点M（2，4）的直线l为一次函数y=kx﹣2k+4时，与y=﹣（x﹣2）2+1联立方程组，消去y得x2﹣4x+3+kx﹣2k+4=0，即x2﹣（4﹣k）x+7﹣2k=0，△=k2﹣12=0，得k1=2，k2=﹣2，∴y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，综上所述，过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4，它们分别与抛物线C2只有一个公共点．（3）设抛物线C3的顶点为（m，m），依题意抛物线C3的解析式为：y=（x﹣m）2+m，与直线y=x联立，解方程组得：，，∴C（m，m），D（m+1，m+1）过点C作CM∥x轴，过点D作DM∥y轴，∴CM=1，DM=1，∴CD=．2,如图，抛物线y＝ax2－4ax＋b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC ＝3(1) 求抛物线的解析式(2) 如图1，D位抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD ．是否存在点P ，使2=GO GD ？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值（1）243y x x =-+ 3（本题12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(1－3a )x －3（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线y ＝－x ＋5与抛物线交于D 、E ，与直线BC 交于P(1) 求点P 的坐标(2) 求PD ·PE 的值(3) 如图2，直线y ＝t （t ＞－3）交抛物线于F 、G ，且△FCG 的外心在FG 上，求证：t a -1为常数．解：(1) 令y ＝0，则ax 2＋(1－3a )x －3＝0，解得x 1＝a 1-，x 2＝3∴B (3，0)令x ＝0，则y ＝－3∴直线BC 的解析式为y ＝x －3联立⎩⎨⎧+-=-=53x y x y ，解得⎩⎨⎧==14y x ∴P (4，1)(2) 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2)则PD ＝2(4－x 1)，PE ＝2(4－x 2)联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=53)31(2x y x a ax y ，整理得ax 2＋(2－3a )x －8＝0∴x 1＋x 2＝a a 23-，x 1x 2＝a 8-∴PD ·PE ＝2(4－x 1)(4－x 2)＝2[16－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2]＝8]881216[2=-+-a a (3) ∵△FCG 的外心在FG 上∴∠FCG ＝90°设FG 与y 轴交于点H ，则CH 2＝FH ·GH∴(t ＋3)2＝－x F ·x G联立⎪⎩⎪⎨⎧--+==3)31(2x a ax y t y ，整理得ax 2＋(1－3a )x －3－t ＝0∴x F ·x G ＝a t--3∴(t ＋3)2＝a t+3 ∴31=-t a4.（梅苑中学九月月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数m x y +=45的图象与x 轴交于A (－1，0)，与y 轴交于点C ．以直线x ＝2为对称轴的抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴正半轴交于点B(1) 求m 的值及抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（a ≠0）的函数表达式(2) 设点D (0，1225)，若F 是抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试探究F M F M 2111+是否为定值？请说明理由(3) 将抛物线C 1作适当平移，得到抛物线C 2：y 2＝－41(x －h )2，h ＞1．若当1＜x ≤m 时，y 2≥－x 恒成立，求m 的最大值如图1，已知抛物线C 1：y=x 2﹣2x+c 和直线l ：y=﹣2x+8，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1交于两不同点A 、B ，与直线l 交于点P ．且当k=2时，直线y=kx （k ＞0）与抛物线C 1只有一个交点．（1）求c 的值；（2）求证：，并说明k 满足的条件；（3）将抛物线C 1沿第一象限夹角平分线的方向平移t （t ＞0）个单位，再沿y 轴负方向平移（t 2﹣t ）个单位得到抛物线C 2，设抛物线C 1和抛物线C 2交于点R ；如图2． ①求证无论t 为何值，抛物线C 2必过定点，并判断该定点与抛物线C 1的位置关系； ②设点R 关于直线y=1的对称点Q ，抛物线C 1和抛物线C 2的顶点分别为点M 、N ，若∠MQN=90°，求此时t 的值．8、如图1，二次函数y=（x+m ）（x ﹣3m ）（其中m ＞0）的图象与x 轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 在二次函数的图象上，CD ∥AB ，连接AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ，使得AB 平分∠DAE ．（1）当线段AB 的长为8时，求m 的值．（2）当点B 的坐标为（12，0）时，求四边形ADBE 的面积．（3）请判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（4）分别延长AC 和EB 交于点P ，如图2．点A 从点（﹣2，0）出发沿x 轴的负方向运动到点（﹣4，0）为止，求点P 所经过的路径的长（直接写出答案）．解：（1）∵二次函数y=（x+m ）（x ﹣3m ）（其中m ＞0）的图象与x 轴分别交于点A ，B（点A 位于点B 的左侧）， 令y=0，得0=（x+m ）（x ﹣3m ），∴x=﹣m或x=3m，∴点A的坐标为（﹣m，0），点B的坐标为（3m，0），由题意，得AB=3m﹣（﹣m）=4m．∴4m=8，即m=2．（2）∵点B的坐标为（12，0），∴m=4，∴A（﹣4，0），C（0，﹣3），如图，过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．∵CD∥AB，∴点D 的坐标为（8，﹣3），点M的坐标为（8，0）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴=．设E点的坐标为（），∴解得x1=16，x2=﹣4（舍去），∴E点的坐标为（16，5）．所以S ADBE=S△ADB+S△ABE=，（3）为定值．∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3），过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．由（2）有，=．∵CD∥AB，∴点D 的坐标为（2m，﹣3），点M的坐标为（2m，0）．设E点的坐标为（），可得解得x1=4m，x2=﹣m（舍去）．∴E点的坐标为（4m，5），∴EN=5，DM=3∵△ADM∽△AEN．∴==；（4）由（1）有，A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3），E（4m，5），∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3①，直线BE解析式为y=x﹣15②，联立①②得，∴P（，﹣），∴点A在运动时，点P的纵坐标不变，即：点A从运动到停止，点P的路径是一条线段，∵点A从点（﹣2，0）出发沿x轴的负方向运动到点（﹣4，0）为止，∴当m=2时，P（3，﹣），当m=4时，P（6，﹣）∴点P所经过的路径的长为6﹣3=3．9、如图，二次函数y=ax2﹣2amx﹣3am2（a，m是常数，且m＜0）的图象与x轴交于A、B （点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作CD∥AB交抛物线于点D，连接BD，过点B作射线BE交抛物线于点E，使得AB平分∠DBE．（1）求点A，B的坐标；（用m表示）（2）是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）抛物线y=ax2﹣2amx﹣3am2的顶点为F，直线DF上是否存在唯一一点M，使得∠OMA=90°？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由ax2﹣2amx﹣3am2=0得，x1=﹣m，x2=3m，则B（﹣m，0），A（3m，0），（2）是定值，为；理由：过点D作DH⊥AB于H，过点E作EG⊥AB于G，将点C（0，3）代入y=ax2﹣2amx﹣3am2得，a=﹣；∴y=ax2﹣2amx﹣3am2=﹣x2+x+3，∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，3），∴OH=﹣2m，DH=3，∴BH=﹣3m∵AB平分∠DBE，∴∠DBH=∠EBG，又∠DHB=∠EGB=90°，∴△BDH∽△BEG，∴，设E（n，﹣×n2+×n+3），∴OG=﹣n，EG=×n2﹣×n﹣3，∴BG=﹣m﹣n，∴，∴n=4m，∴E（4m，5），∵BH=BO+OH=﹣m﹣2m=﹣3m，BG=BO+OG=﹣m﹣4m=﹣5m，∴，（3）存在，理由：如图2，∵B（﹣m，0），A（3m，0），∴F（m，4），∵D（2m，3），∴直线DF的解析式为y=﹣x+5，∴N（5m，0），P（0，5），∴OP=5，PN==5取OA的中点M，∵A（3m，0），N（5m，0），∴M（m.0），∴OM=﹣m．MN=﹣m，假设直线DF上是存在唯一一点M，使得∠OMA=90°，∴以OA为直径的⊙M与PN，PO相切，∴PM是∠OPN的角平分线，∴，∴，∴m=（舍）或m=﹣．。