模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ．这个命题的大前提为( )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB答案：A2.⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝( ) A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ．⎠⎛01(e x ＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)10＝e ，故选C ． 3．复数(1－i 2)2＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：选D ．(1－i 2)2＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i.所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1. 4．下列求导运算正确的是( ) A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 解析：选B.(x ＋3x )′＝1－3x2，所以A 不正确； (3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．故选B. 5．用反证法证明命题：“若(a －1)(b －1)(c －1)＞0，则a ，b ，c 中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都大于1B ．假设a ，b ，c 都不大于1C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于1D ．假设a ，b ，c 中至多有两个大于1解析：选B.a ，b ，c 中至少有一个大于1的否定为a ，b ，c 都不大于1.6．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋2，则函数y ＝f (x )的单调增区间是( ) A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)和(－2，＋∞)解析：选D ．据解析式可知函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠－2}，由于f ′(x )＝3(x ＋2)2＞0，故函数f (x )在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上分别为增函数．7．已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A ∩B ＝AD ．A ∩B ＝∅解析：选B.|x ＋i|＝x 2＋1＜2， 即x 2＋1＜4，解得－3＜x ＜3，∴B ＝(－3，3)，而A ＝[－2,2]，∴B A ，故选B.8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：选B.n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定解析：选C ．要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0＜12，故P ＜Q .10．如图，阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x B ．⎠⎛ac [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b [f (x )－g (x )]d x C ．⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－f (x )]d x D ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x 解析：选B .∵在区间(a ，c )上g (x )＞f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )＜f (x )．∴S ＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛cb [f (x )－g (x )]d x ，故选B . 11．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：选D ．由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．12．观察数表：1 2 3 4 … 第一行2 3 4 5 … 第二行3 4 5 6 … 第三行4 5 6 7 … 第四行… … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n －1列的交叉点上的数应该是( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．n 2－1D ．2n －2解析：选D ．根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行与第n 列交叉点上的数应该是2n －1，故第n 行与第n －1列的交叉点上的数应为2n －2.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．解析：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得到z ＝－3＋2i i－1＝2＋3i －1＝1＋3i. 答案：114．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，则产量q ＝________时，利润L 最大． 解析：收入R ＝q ·p ＝q (25－18q )＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0＜q ＜200)， L ′＝－14q ＋21，令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84. ∴产量q 为84时，利润L 最大．答案：8415．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为________． 解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 16．(2014·山东省实验中学月考)给出下列四个命题：①若f ′(x 0)＝0，则x 0是f (x )的极值点；②“可导函数f (x )在区间(a ，b )上不单调”等价于“f (x )在区间(a ，b )上有极值”；③若f (x )＞g (x )，则f ′(x )＞g ′(x )；④如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：②④显然正确；对f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①错；f (x )＝x ＋1＞g (x )＝x ，但f ′(x )＝g ′(x )＝1，故③错．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2. 求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i 5 ＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i.(3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 18．(本小题满分12分)求函数f (x )＝e xx －2的单调区间． 解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2. 因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x ＞0，(x －2)2＞0.由f ′(x )＞0，得x ＞3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )＜0，得x ＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明：(1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ， ∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)由S n ＋a n ＝2n ＋1，当n ＝1时，S 1＝a 1，∴a 1＋a 1＝2×1＋1，得a 1＝32. 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2，则a 1＋a 2＋a 2＝5，将a 1＝32代入得a 2＝74. 同理可得a 3＝158.∴a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n. (2)证明：当n ＝1时，结论成立．假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ； 当n ＝k ＋1时，S n ＋a n ＝2n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1.∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2a k ＋1＝4－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴根据上述知对于任意自然数n ∈N *，结论成立．21．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)若x ＝1时，函数f (x )取得极值，求函数f (x )在x ＝－1处的切线方程；(2)若函数f (x )在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，f ′(1)＝0，故a ＝－2， ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，当x ＝－1时，f (－1)＝－3，即切点坐标为(－1，－3)． 又f ′(－1)＝8，∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f (x )在区间(12，1)内不单调，即f ′(x )＝0在(12，1)内有解， 令f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0，则2ax ＝－3x 2－1.由x ∈(12，1)，得2a ＝－3x －1x. 令h (x )＝－3x －1x ，由h ′(x )＝－3＋1x 2＝0， 知h (x )在(33，1)上单调递减，在(12，33]上单调递增， ∴h (1)＜h (x )≤h (33)，即h (x )∈(－4，－23]． ∴－4＜2a ≤－23，即－2＜a ≤－ 3.而当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，不满足题意．综上，实数a 的取值范围为(－2，－3)．22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝38x 2－2x ＋2＋ln x . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝34x －2＋1x ＝(3x －2)(x －2)4x， 当f ′(x )＞0时，x ∈(0，23)∪(2，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈(23，2)，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，23)和(2，＋∞)，单调递减区间为[23，2]． (2)由(1)知y 极大值＝f (23)＝56＋ln 23＞0，y 极小值＝f (2)＝ln 2－12＞0. 当x ＞0且x →0时f (x )＜0，故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0，且x 0∈(0，23)． 若m ≥0，则e m ≥1，[e m ，＋∞)⊂(23，＋∞)，此区间不存在零点，舍去，故m ＜0. 当m ＝－1时，x ∈[1e ，＋∞)，f (1e )＝1＋38e 2－2e＞0， 又(1e ，23)为增区间，此区间不存在零点，舍去． 当m ＝－2时，x ∈[1e 2，＋∞)，f (1e 2)＝1e 2(38e 2－2)＜0， 又(1e 2，23)为增区间，且y ＝f (23)＞0，故x 0∈(1e 2，23)． 综上，m 的最大值为－2.。