对于最小相位系统,幅频与相频有确定关系,可以 省略相频图；频域稳定判据可不要传递函数,否则劳斯 判据更简单。 2.两者关系：见最小相位环节和非最小相位环节的关系
5.3 奈 奎 斯 特 判 据
❖
在工程中，分析或设计系统时，首先必须保证系统是稳
定的，这一点是尤为重要的！
❖
在时域分析中我们讨论过系统的稳定性，可以从系统闭
包围原点N次．若令：Z为包围于LS内的F(s)函数的零点数；
P为包围于LS内的F(s))函数的极点数，则 N＝Z-P
❖ 若包围LS的是F(s)的Z个零点和P个极点时，则，[F(s)]平 面上的对应轨迹绕原点顺时针转N=Z-P圈．
❖ 根据式N=Z-P(幅角原理的数学表达式)可知：
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
其中:G(j) G(j) ej G(j) G(j) ej; G(j) G(j)
则: y(t) a1ejt a2ejt biepit 当t ,如果系统稳定,则: biepit 0,
由欧拉公式:sin=ej
G (s)U c(s) 1 1 Ur(s) R 1C1s1 T s1
设ru AS ti,则 nU r(s)s2A ω ω 2
1 A Uo(s)T s1s22
u 0(t)1 A 2 tT 2e t/T1 A 2 T 2S( itn ar T c)t
稳态分 A量 S(in tar cT t)g 12T2
❖
奈奎斯特判据：在频域中，利用系统的开环频率特性来
获得闭环系统稳定性的判别方法，不仅可以确定系统的绝对
稳定性，而且还可以提供相对稳定性的信息，即系统如果是
稳定的，那么动态性能是否好；或者如果系统是不稳定的，
那么离稳定还差多少等。所以频域稳定性判据不仅用于系统
的稳定性分析，而且更方便地用于控制系统的设计和综合。
微分方程 sp
传递函数
系统
s j频率特性来自j p§频率特性的图示
频率特性的图示方法有多种： 幅相图(极坐标图，奈奎斯特Nyquist 图） 对数频率特性图（又称波德图Bode） 对数幅相频率特性图（又称尼科尔斯
Nichols), 幅频特性图,相频特性图,实频特性图，虚频
特性图等。 其中在工程中用的最多的是波德图和奈奎
❖ 由以上的关系，可以知道原来系统稳定的 充分必要条件GC(S)的所有极点均需具有负实 部，现在变成了F(S)的所以零点均需具有负实 部。
❖ 由于我们只讨论n>=m的情况，所以系统 的闭环极点数目等于系统的开环极点数目。
❖
由于F(S)沟通了G0(S)和 GC(S)之间的关系，
所以可以利用G0(S)通过F(S)来判定闭环系统的
第五章 频率响应法
5.0 频 率 特 性 法 5.1 频 率 特 性 分 析 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈 奎 斯 特 判 据 5.4 开 环 频 率 特 性 5.5 闭 环 频 率 特 性
本章作业
5.0 频率分析法 (P152)
Frequency Response Methods
❖ 采用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法称为频率分析法。 时域(响应)分析法： 阶跃、脉冲等信号 频率分析法： （不同频率）正弦信号
§辅助函数
如右图所示的开环传递函数为
G0(s)
G(s)
M(s) N(s)
闭环传递函数为
Gc(s)1 G G 0(0s()s)N(sM )(sM )(s)
作辅助 函数F(S)，也就是系统的闭环特征多项式为：
F(s)1G0(s)N(sN ) (sM )(s)
F(s) 零点，同时又是闭环极点 F(s) 极点，同时又是开环极点
内容：频率特性的概念及作图、频域稳 定性判据、开环频域性能分析
实例
频率分析法特点
（1）频率特性具有严密的数学基础
和明确的物理意义；
f
(t)
a0
2
[an
n1
sinn0t
bn
cosn0t]
a20n1[an
sinn0t
bn
sin(n0t
]
2
（2）频率特性计算量很小，
可用作图方法，易于在工程技术界使用；
频率分析法特点
（3）正弦信号易产生、测量可采用实验的 方法求出系统或者元件的频率特性，用 于分析系统性能、辨识系统
（4）主要适用于线性系统，但可推广到非 线性系统；
正是由于这些优点，频率特性法在工程 技术领域得到了非常广泛的使用。
5.1 频率特性分析
例 1：对图示RC系统，求当输 入信号为正弦信号时输出
§对数坐标图（Bode）
对数坐标图又称为波德图(曲线)， 对数坐标图有对数幅频特性图和对 数相频特性图。 Bode图横坐标采 用对数分度，对数幅频曲线的纵坐
标轴 L()20lgA()其单位是分贝，
记作dB；对数相频曲线的纵坐标不 做改变，其单位是度。
❖ ※注意： ❖ 1) .Bode图横坐标不是以ω等分度的，
对惯性环节，- 20dB/dec ； 振荡环节， - 40dB/dec； 一阶微分环节，+20dB/dec ； 二阶微分环节，+40dB/dec。
§系统开环幅相曲线（ Nyquist图）
§最小相位系统
1.定义： 开环零点和开环极点全部位于s平面的左半平面，即
相频特性的绝对值最小的系统为最小相位系统；否则 为非最小相位系统。 例：Ga(s)1 1 T T1 2ss,Gb(s)1 1 T T1 2ss
(n0,01)
6）积分环节 G(s) s
7）微分环节 G ( s ) 1
s
其中： T=1/ωn ------时间常数 ζ---------阻尼比
§典型环节的频率特性
一、最小相位环节的频率特性
二、非最小相位环节的频率特性
特点：与最小相位典型环节中的某参数反号 1）比例环节 G(s) K (k>0)
A () 1 ,()arctgT 12T2
则可写成： 1
eiarctgT
12T 2
1 1
1 jT 1Ts s j
可见：
1）线性定常系统的频率响应是与输入同频率的正弦信号; 2）频率响应的幅值和相移均是输入正弦信号频率ω的函数，所以 RC网络的幅频特性和相频率特性为：
幅频特性：A()YX
1
1T22
§典型环节
5.2.1 典型环节
❖ 1.最小相位环节
1）比例环节
G(s) K
2）惯性环节
G(s) 1 Ts 1
(T 0)
3）振荡环节 G (s) T 2 s2 + 2 1T s 1 (s n )2 2 1(s n ) 1 (0 1)
4）一阶微分环节 G(s)Ts1
5）二阶微分环节 G(s)sn2 2n2 s1
环极点的位置来判断系统是否稳定，并且给出了代数稳定性
判据（Routh判据、Hurwitz判据、Lienard-Chipard判据），无
须求解系统的解，可以只通过这些判据就可以知道系统是否
稳定。但是，代数稳定性判据提供的是控制系统绝对稳定性
的信息，而对于系统的相对稳定性的信息提供的很少，因此
我们引入了频域稳定性判据即奈奎斯特判据。
相频特性： ()arctanT
RC网络频率特性的两条曲线如图所示（P153，另见实例）
§ 对于一般情况
x(t) xsint,
X(s)
x s2 2
(s
x j)(s
j)
G(s)
N(s) (s pi
)
,(
pi可以为0,实数,复数)
则: y(s)G(s)X(s)
a1 a2
bi
s j s j spi
所以当频率ω从0→+∞及从0→-∞时， 正负频率的曲线是关于实轴对称的。 通常只画出ω从0→+∞的曲线即可。)
❖ 2.三种绘制方法 ❖ a.极坐标系:对应ω,求出 A ( ) P ( 与) (的 )值，并绘图。 ❖ b.直角坐标系:
❖ G (j)P () ,对jQ 应( ω)求出 与
的值Q (,并) 绘图。 ❖ c.由零、极点分布图绘制。
G(j)K A() K
() 1800
§典型环节频率特性小结
5.2.2开环频率特性的绘制
控制系统的频率特性包括开环频率特性和闭环频率 特性，两者都可以用于分析系统的特性，由于开环频率 特性作图简单、方便，所以开环系统分析的应用比较广 泛；而闭环频率特性由于徒手作图困难，需要借助计算 机以及专用的图表，所以应用逐渐减少。
F(s)，或为从原点指向此映射点的向量F(s)．
❖
若在[s]平面上任意选定一封闭曲线LS，只要此曲线不经
过F(s)的奇点，就可将[s]平面的封闭曲线LS映射到[F(s)]平
面上去，结果也是一封闭曲线，记为LF ．当解析点s按顺时
针方向沿LS变化一周时，向量F(s)将按顺时针方向旋转N周，
即F(s)以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于LF曲线顺时针
3. Bode图特点
➢最低频段的斜率取决于积分环节的数目v,斜率为－20v dB/dec；
➢注意到最低频段的对数幅频特性可近似为 L()=20lgK-20vlg
➢如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性 为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；
➢对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生 变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。
20dB;1cm——900或按比例缩放。
绘制Bode图的一般步骤
1式））将G()G写(A ()成 ; )e指i(数) 式（幅值、幅角形
2）求对数幅频特性及对数相频特
性
L()，20lgA() ( )