a·b
(4)cos〈a，b〉＝ |a||b| (|a||b|≠0). (5)|a·b| ≤ |a||b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
9
预习导学
[知识链接]
挑战自我，点点落实
如图，一个物体在力F的作用下产生位移 s，且力F与
位移 s 的夹角为θ，那么力F所做的功W怎么计算？
W＝|F1|·|s|
∴cos〈A→B，B→C〉＝cos(180°－B)＝－cos B＝－153. ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|cos(180°－B)
＝13×5×－153＝－25.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习2. 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)A→B·A→C；
(2)A→B·B→C；
F1
＝ |F|cos θ ·|s|
＝|F||s|cos θ= F·s
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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课堂小结 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功。 2.向量在轴上的正射影及其数量。 3.掌握了平面向量数量积的定义，会数量积求向量的夹角 4.总结了平面向量数量积的性质，会用其解决问题。
→→ (3)BC·AC.
解 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°. ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
(2)∵A→B与B→C的夹角为 120°.
∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120°＝1×1×－12＝－12. (3) B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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课堂讲义
重点难点，个个击破
判断正误，并简要说明理由. (1)a·0＝0；(2)0·a＝0；(3)a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 解 上述3个命题中只有(3)正确； 对于(1)：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0； 对于(2)：应有0·a＝0； 对于(3)：|a|＝|b|＝1⇒a2＝b2＝1.
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练习3 已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中
真命题的个数为( )
①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；②a、b反向⇔a·b＝－|a|·|b|；
③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
A.1
B.2Biblioteka C.3D.42.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习4 已知a，b是两个非零向量|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，
求a与b的夹角。
练习5 已知向量a，b的夹角为120，且|a|＝4，|b|＝2 求 (1) |a＋b| (2) |3a－4b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习 1.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的
值是________.
解析
易知|A→B|2＝|B→C|2＋|C→A|2， C＝90°. cos B＝153，
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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例1
(1)
已知
|O→A|=5，〈O→A，l〉=60°，求
→ OA
在l上正射影的数量OA1
(2)
已知|O→B|=5，〈O→B，l〉=120°，求
→ OB
在l上正射影的数量OB1
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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思考：当θ为锐角，钝角，0°，90°，180°角时，向量在轴上 正射影的数量是怎样的？
例2 已知|a|=3，|b|=4， a与b的夹角θ=135°，求a·b
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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平面向量数量积的性质
(1)e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉. (a≠0).
(2)a⊥b⇒a·b＝ 0 ，反之a·b＝0 ⇒a⊥b(a≠0，b≠0). (3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a .
2
1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b(如图所示)，作 O→A＝a， O→B＝b，则 ∠AOB 称作向量a和向量b的夹角， 记作〈a，b〉， 并规定它的范围是[0，π].
任意向量
思考 正∆ABC中,〈A→B，A→C〉= 60〈°, A→B，B→C〉=120°, 〈A→C，B→C〉=60°.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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2.向量在轴上的正射影 已知向量 a 和轴 l，作 O→A＝a，过点O，
A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则 向量 O——1A→1叫做向量 a 在轴 l上的正射影(简称
射影)，该射影在轴l上的坐标，称作 a 在轴 l上的数量，或 a
在轴 l 上正射影的数量.记为al， al＝|a|cos θ
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习4 已知a，b是两个非零向量|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求
a与b的夹角。
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习5 已知向量a，b的夹角为120，且|a|＝4，|b|＝2 求 (1) |a＋b| (2) |3a－4b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习 1.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的
值是________.
练习 2.已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)A→B·A→C；
(2)A→B·B→C；
→→ (3)BC·AC.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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跟踪演练 已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角θ=120°，则
向量p在q方向上的正射影的数量为
；向量q在p
方向上的正射影的数量为
。
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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平面向量数量积的基本概念
|a||b|cos 〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记 作a·b. 即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
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第二章——
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
预习导学
[知识链接]
挑战自我，点点落实
如图，一个物体在力F的作用下产生位移 s，且力F与
位移 s 的夹角为θ，那么力F所做的功W怎么计算？
W＝|F1|·|s|
F1
＝ |F|cos θ ·|s|
＝|F||s|cos θ.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
(1)当θ为锐角时，正射影和轴 l 同向， al＝|a|cos θ >0. (2)当θ为钝角时，正射影和轴 l 反向，al＝|a|cos θ <0.
(3)当 θ= 0° 时， al＝|a|; 当 θ= 180° 时， al＝-|a|.
(4)当 θ= 90° 时， al＝0.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义