2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
三维目标：
1、知识与技能：
（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；
（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；
（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法
（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；
（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。
3、情态与价值观
（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思
维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。
（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；
教学重点：
平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)
教学难点：
平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学过程：
一、情景导入、引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
二、合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱·︱b b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·，即：a·=︱a︱·︱︱cosα
（2）定义说明：
①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。
②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
（5）探究题组一：已知｜a｜＝３，｜｜＝６，当①a∥，②a⊥，③a与的夹角
是60°时，分别求a·.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；
若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·＝｜a｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·＝０； ③当a 与b 的夹角是60°时，有
a ·＝｜a ｜｜｜cos60°＝3×6×2
1＝9 评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，
有0°或180°两种可能.
探究二：研究数量积的几何意义
1.给出向量投影的概念： 如图，我们把│b │cos α（│a │cos α） 叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，
记做：OB 1=︱│b │︱cos α
注：投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 期望学生回答：数量积a ·等于a 的长度︱a ︱与在a 的方向上的投影 ︱︱cos α 的乘积。
探究三：探究数量积的运算性质
1、数量积的性质
性质：若ａ和ｂ均为非零向量
（1）ａ⊥ｂ⇔ａ·ｂ＝0 （垂直）
（2）ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ =︱ａ︱·︱ｂ︱，ａ与ｂ 反向 时，ａ·ｂ =-︱ａ︱·︱ｂ︱ 特别地：ａ·ａ=︱ａ︱2 =a a ⋅ （长度）
（3）cos θ=b
a b a ⋅⋅（夹角） （4）︱ａ·ｂ︱ ≤︱ａ︱·︱ｂ︱（注意等号成立的条件）
2、探究题组二（师生共同完成）已知︱a ︱=6，︱b ︱=4, a 与b 的夹角为60°，求（a +2 ）·（a -3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（a +2 ）·（a -3）=a .a -3a .+2a .-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4
= -72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）(a +)2=a 2+2a ·+2
（2）(a +b )·(a -b )= a 2—b 2
探究四、数量积的运算律：
（1）交换律： ；
（2）对数乘的结合律： ；
（3）分配律：
注意：数量积不满足结合律和消去律，即：（1）
（2）_______________
探究题组3：互相垂直？与为何值时，向量不共线与已知b a b k a k b a b a k ,,4,3-+== 解：0)()()()(=-⋅+⇔-⊥+b k a b k a b k a b k a
4
3016902222±=⇔=-⇔=-⇔k k k 三、思悟小结：
知识线：
（1）平面向量的数量积；
（2）平面向量的数量积的几何意义；
（3）平面向量数量积的重要性质及运算律；
（4）平面向量的数量积与向量投影的关系。
思想方法线：
（1）公式或定义法；
（2）数形结合、分类讨论等思想方法。
四、针对训练 巩固提高：
1、 下列各式： （1）()()()b a b a b a ⋅⋅=⋅=⋅λλλ
（2）b a b a ⋅=⋅
（3）()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ （4）()()
c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ 正确的个数为
2、 已知：()()7,4,3,2-==b a ，则a 在b 上的投影为
3、 下列命题中
（1）0,0=⋅=b a b a 有则对任意向量若 （2）0,0≠⋅≠b a b a ，有则对任一个非零向量若 （3）0,0,0==⋅≠b b a a 则若 （4）0,,0 中至少有一个为则若b a b a =⋅ （5）ｃ＝ｂ，则ｃａ＝ｂａ，０ａ若 ⋅⋅≠ （6）
时成立当且仅当则若0,, =≠⋅=⋅a c b c a b a 其中真命题的个数有
4、 ()
b a b a b a b a b a ++⋅===,,,150,4,320求的夹角与已知θ
5、A C C B C b a ABC ⋅===求中，已知：三角形 ,60,8,50。