§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴【基础知识】1.数的扩展：数系扩展的脉络是： → → ，用集合符号表示为 ⊆ ⊆ ，实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类：⑴概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ，其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类：①若(,)a bi a b R +∈为实数，则 ，②若(,)a bi a b R +∈为虚数，则 ，③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数，则 ；⑶复数相等：若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ； ⑷共轭复数：(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ；3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z |）则⑴加法： 12()()z z a bi c di +=+++＝ ； ⑵减法： 12()()z z a bi c di -=+-+＝ ； ⑶乘法： 12()()z z a bi c di ∙=+∙+＝ ；⑷乘方： m nz z ∙= ；()m n z = ；12()n z z ∙= ；⑸除法：12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ ＝ ； 4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， 叫做实 轴， 叫做虚轴；实轴上的点表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 . 5.复数的模：向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 （或 ），记作 （或 ），即||||z a bi =+＝ ；复数模的性质：⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；⑵2222||||||||z z z z z z ====∙； 6. 常见的结论：⑴4411nn i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律：i，i ＝i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0；⑵2(1)i ±= ；11i i +=- ；11ii-=+ ；⑶1,22ωω-±3设＝则＝ ；2ω＝ ；21ωω++＝ ； 【基本训练】1．若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22a b +等于 ． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于 ． 3．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使21z =-的θ值可能是 ． 4．22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 5．已知复数032z i =+，复数z 满足025z i z z -∙=，则复数z = _______________. 6．i 是虚数单位，23482348i i i i i +++++ = ____________.【典型例题】例1．已知：复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为：⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；练习：复数z 的实部和虚部都为整数，且满足z + z 10是实数，1 < z + z10≤6，求复数z.例2.计算下列各题：⑴ 54)31()22(i i -+ ⑵2007)12(321,32i ii -+++- ⑶)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+【课堂检测】1．下列命题中：⑴两个复数一定不能比较大小；⑵z m ni =+，当且仅当0,0m n =≠时，z 为虚数；⑶如果22120z z +=，则120z z ==；⑷如果123,,z z z C ∈，则221223()()0z z z z -+-≥，其中正确的的命题的个数是 ．2．3321i i ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4)11(i +＝________；复数z =i-11的共轭复数是______；3．已知复数z =,2321i +-则2320081z z z z +++++= ．4．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________. 5．设)()11()11()(Z n ii i i n f nn ∈--+-+=，则集合中的元素个数为 ．6．已知复数1z i =+，如果i z z baz z -=+-++1122，求实数a 、b 的值.§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵【基础训练】1．若复数2(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数，则实数m 的值为 ． 2．复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点在 ． 3．若u =,2321i +-v =,2321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+vu ;⑷2u v =其中正确的命题是 ． 4．如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=，则12||z z += ． 【典型例题】例3．设z 为虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω， ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设zz u +-=11，求证：u 为纯虚数；⑶求2u -ω的最小值．练习：设x 、y 是实数，且ii y i x 315211-=---，求x y +的值.例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根.练习：关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ，设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值．例5．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.（1）若方程有实数根，求锐角θ和方程的实根； （2）证明：对任意()2k k Z πθπ≠+∈，方程无纯虚数根.练习：已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈.（1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程；（2）若方程有实根，求此实根的取值范围. 【课堂检测】 1．复数ii+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2．复数(m 2 – 3m – 4) + (m 2 – 5m – 6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是___________. 3．若复数z 满足|z| - z =i2110-，则z = _____________. 4．若复数z 满足方程220z +=，则3z = _______；5．若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位），则q = ．6．设286z i =+，求310016z z z--的值. 【课堂作业】1．已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1，且z 1 + z 2 = i ，求z 1、z 2 . 2．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值. 3．已知复数z 、w 满足w = iz+2，(1+3i)z 为纯虚数，|w| = 52，求w.4．已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -. 5．已知关于x 的方程x 2 – (6 +i)x + 9 + ai = 0（a ∈R ）有实数根b. （1）求实数a 、b 的值；（2）若复数z 满足|- a – bi| - 2|z| = 0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.§85 复数的几何意义⑴【基础知识】1.复平面内两点间的距离公式：两个复数 的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离；设两个复数12z z 、在复平面内对应点分别为12,Z Z d 、为点12Z Z 、间的距离，则d = ；2.常见的复数对应点的轨迹有：已知复平面内定点12z z 、，及动点z ①方程12||||z z z z -=-表示 ； ②1||(0z z r r -=>为常数）表示 ；③12||2(z z z a a -+-=12｜z ｜为正常数，2a>|z -z |）表示 ； ④12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z |）表示 ； 【基础训练】1．满足条件|z – i| = |3 + 4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 2.若关于x 的方程x 2 – mx + 2 = 0有一个虚根1 + i ，则实数m 的值为__________. 3．已知3z ai =+，且|2|2z -<，则实数a 的取值范围是_____________.4．已知复数z 满足|z + 1| + |z – 1| = 2，则z 在复平面内对应点的轨迹是____________. 5．“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”是“0a =”的 条件． 6． 若35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在第_________象限.7．ABC ∆三个顶点所对应的复数1z 、2z 、3z ，复数z 满足123||||||z z z z z z -=-=-，则复数z 对应点的是ABC ∆的 ．8．非零复数12z z 、满足关系1212z z z z ｜+｜＝｜-｜，则12z z 一定是__________. 【典型例题】例1．已知复数z 满足2z i +、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．练习：已知集合}{}{22(3)(1),8,3,(1)(2)M a b i N i a b i =++-=-++，同时满足M ∩,M N M M N ⊂≠Φ，求整数a 、b ．例2.已知四边形OABC ，顶点O 、A 、C 对应的得数为0、32i +、24i -+，试求： ⑴AO 表示的复数， BC 表示的复数；⑵对角线CA 表示的复数；⑶求B 点对应的复数．练习：1.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ，5 + 2i ，则A 、B 、C 所构成的三角形是____________.2.复平面内有三点A 、B 、C ，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为12i +，向量对应的复数是3i -，求C 点对应的复数． 【课堂检测】 1．若|z| = 1，则21zz+一定是___________. 2．如果ABC ∆是锐角三角形，则复数(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于 ．3．已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 分别对应复数0，1 + i ，3 – i. 试求： （1）和表示的复数；（2）点B 对应的复数.§86复数的概念及几何意义⑵【典型例题】例3．设复数(,)z x yi x y R =+∈，在下列条件下求动点(,)Z x y 的轨迹．⑴ |2|2z i +=; ⑵|1||1|z i z i ++=--; ⑶|5||5|8z i z i +--=;⑷ |1|2|1|z z +=-; ⑸||||z i z i ++-=; ⑹||1||1|z z +--=;⑺ 3z i =-; ⑻ 3cos 4sin z i θθ=+．例4．已知z ∈C ，|z – 2| = 1，求|z + 2 + 5i|的最大值和最小值.练习：1．已知复数z 满足|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为 ． 2．已知复数(2)(,)z x yi x y R =-+∈的模为3，则12++x y 的最大值和最小值分别为 ．例5．设复数1(,,0)z x yi x y R y =+∈≠，2cos sin ()z i R ααα=+∈，且2112z z R +∈，1z 在复平面上所对应的点在直线y x =上，求12||z z -的取值范围．例6．已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足方程||||6z z ++-=， ⑴．求动点(,)P x y 的轨迹方程；⑵．试问是否存在直线l ，使l 与动点(,)P x y 的轨迹交于不同的两点M N 与，且线段MN 恰被直线12x =-平分？若存在，求出直线l 的斜率取值范围；若不存在，请说明理由； 【课堂检测】1.已知|z 1| = 1，|z 2| = 1，|z 1 + z 2| =3，求|z 1 – z 2|.2.复平面内有A B C 、、三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为12i +，向量BC 对应的复数是3i -，求C 点对应的复数.3.复数1z 满足1222123(,z z iz ai a R z z ∙+=+∈为的共轭复数），且其对应的点在第二象限，求a 的取值范围.§87命题的四种形式及充分条件与必要条件⑴【基础知识】1.原命题：若p q 则；逆命题为： ；否命题为： ；逆否命题为： ；2. 四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；四种命题中真命题或假命题的个数必为 个．3. 充分条件与必要条件：⑴如果,p q p q ⇒则是的 ，q p 是 ； ⑵如果,p q q p ⇒⇒，则p 是q ；⑶如果 ，p q 则是的充分而不必要条件； ⑷如果 ， p q 则是的必要而不充分条件； ⑸如果 ，p q 则是的既不充分也不必要条件；【基础训练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈” 的 条件．2．设原命题“若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1”则原命题与其逆命题的真假情况是 .3．命题：“若a 2+b 2=0（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是 . 4.设a ∈R ，则a>1是a1<1 的 条件． 5．若与-都是非零向量，则“⋅=⋅”是“⊥（-）”的条件6.一次函数nx n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 .7．已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件.8．用充分、必要条件填空：①x ≠1且y ≠2是x+y ≠3的 ②x ≠1或y ≠2是x+y ≠3的 ． 【典型例题】例1．填空：⑴B A ⊇是(A ∩C )⊇(B ∩C )成立的 条件． ⑵在空间四点中，无三点共线是四点共面的 条件．⑶“在△ABC 中，A ＝60°，且 co s B ＋co s C ＝1”是“△ABC 是等边三角形”的 条件． ⑷设集合A ＝{长方体}，B ＝{正四棱柱}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 条件. ⑸一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 . ⑹命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的 条件.⑺已知0>h ，设命题甲为：两个实数b a ,满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数b a , 满足h a <-1且h b <-1，那么甲是乙的 条件.⑻给出下列命题①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ” ；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。