一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 。

（2）集合与元素的关系用符号⊆∈, 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N * 、 N + ；整数集 Z ；有理数集 Q 、实数集 R 。

（4）集合的表示法:列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法）注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xyz x x y z G =++==（5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）⋂{ ∈且∈} ⋃{ ∈或∈}；I{ x ∈ I 且∉}（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A =；A B B A =；B A B A ⊆； ②⇔=A B A ⊆；⇔=A B A ⊆ ；⇔=U B A C U ⋃∅；⇔=φB A C U ⋂；③=B C A C U U )(B A C U ⋃; B C A C U U ⋃)(B A C U =； （4）①若n 为偶数，则=n 2K,(k Z ∈)；若n 为奇数，则=n 21, (k Z ∈)；②若n 被3除余0，则=n 3k, (k Z ∈)；若n 被3除余1，则=n 31(k Z ∈)；若n 被3除余2，则=n 32(k Z ∈)；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n ，所有真子集的个数是2n -1，所有非空真子集的个数是2n -2。

（2）B A 中元素的个数的计算公式为：=)(B A Card -+CardB CardA )(B A Card ⋂；（3）韦恩图的运用：四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，若⇒⇒；则p 是q 的充分非必要条件B A ⊆⇔； 若⇒⇒；则p 是q 的必要非充分条件B A ⊇⇔； 若⇔；则p 是q 的充要条件B A =⇔；若⇒⇒；则p 是q 的既非充分又非必要条件A B B A ⊄⊄⇔,； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的充要性；注意：“若q p ⌝⇒⌝，则q p ⇒”在解题中的运用， 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的充分不必要条件。

六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

1．设(){}(){},46,,53,A x y y x B x y y x ==-+==+-，则AB =（1，2）2．（P13练习5）设{}{}21,,21,,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==-∈{}2,,C x x k k Z ==∈则A B =A ，B C =∅，A C =R ，A B =A 。

3．（P14习题9）一个集合的所有子集共有n 个，若{}0,1,2,3,4,5n ∈，则n ={1,2.4} 4.（P14习题10）我们知道,如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{},s C A x x S x A =∈∉且．类似地,对于集合，我们把集合叫{},x x A x B ∈∉且做集合Ａ，Ｂ的差集，记作Ａ－Ｂ．若{}{}1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则()()A B B A --={1,2.3.6.7.8}.若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系为⋂∅5．（P17复习题6）已知集合[)()1,4,,,A B a A B ==-∞⊆，则a ∈+∞,4[) 6．（P17复习题8）满足{}{}1,31,3,5A =的集合A 最多有4 个。

7．（P17复习题10）期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.则上述两门学科都优秀的百分率至少为45%。

8．（P17复习题11）设全集为U ，则()(),,U U U C A C AB C A B 三者之间的关系为()()U U U C A B C A C A B ⊆⊆9．（P17复习题12）设A ，B 均为有限集，A 中元素的个数为m ，B 中元素的个数为n ，AB中的元素的个数s ，A B 中的元素的个数t ，则下列各式能成立的序号是(1)(2) （1）．m n s +> （2）．m n s += （3）．m n s +10．（P17复习题13）对于集合A ，B ，我们把集合(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯.例如，{}{}1,2,3,4A B ==，则有()()()(){}()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2,A B B A ⨯=⨯=()()()(){}()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,3,4,4,3,4,4.A A B B ⨯=⨯=据此，试解答下列问题：（1） 已知{}{},1,2,3C a D ==，求C D ⨯及D C ⨯；⨯{(a,1),(a,2),(a,3)} ⨯{(1),(2),(3)}（2） 已知()(){}1,2,2,2A B ⨯=，求集合A ，B ；{1,2}{2}（3） 若A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A B ⨯有几个元素？121.若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数2．2.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤{}101-，，3.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于{}|13x x -≤≤4.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U {}1,4,55.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U {1,2,4}6.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为67.（湖南卷2）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的必要不充分条件 8.已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为29.设是整数，则“均为偶数”是“是偶数”的充分而不必要条件 10.（福建卷2)设集合{1xx -＜0}{0＜x ＜3＝,那么“∈”是“∈”的充分而不必要条件11.已知，{}0|>x x {}1|-≤x x ,则()()=A C B B C A u u {}10|-≤>χχχ或12.已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝ D A ．M N B ．M NC ．)(N M C UD ．)(N M C U13.（江苏卷4）{()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数 0 ．14.（重庆卷11）设集合{1,2,3,4,5}{2,4}{3,4,5}{3,4},则)()(C C B A U ={}5,2 .二 函数概念一、 知识清单1．映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，(a)。

若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从A 到B 的映射为一一映射。

2．函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集{f (x )∈A}为值域。

3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。

4．函数定义域的求法：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法. ⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; ② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是24[,)4ac b a -+∞,当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]； ③ 反比例函数)0,0(≠≠=x k xk y 的值域为}0|{≠y y ；④ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ； ⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]； ⑦ 函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ； 二、课前练习1.若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =,则A 到B 的映射有 34 个，B 到A 的映射有 43个；若}3,2,1{=A ，},,{c b a B =, 则A 到B 的一一映射有 6 个。

2. 设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是43.已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则=)(r f S 220r ；定义域为0<r<10。