第二讲：奇数与偶数
教学目标
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
知识点拨
一、奇数和偶数的定义
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
三、两个实用的推论：
推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶
模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质
【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？
【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有
奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数
【巩固】 123456799100999897967654321
+++++++++++++++++++++L L 的和是奇数还是偶数？为什么？
【解析】 在算式中，1~99都出现了2次，所以
123499999897964321++++++++++++++L L 是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676++++++++++++++++L L
54321+++++的和是偶数．
【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？
【解析】 偶数。
原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数
个。
【例 2】 (200201202288151152153233++++-++++……）（……）
得数是奇数还是偶数？
【解析】 200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233
共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。
【例 3】 12345679899+⨯+⨯+⨯++⨯L 的计算结果是奇数还是偶数，为什么？
【解析】 特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数⨯偶数，所以它们的
乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数+偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数．
【例 4】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请
说明理由
（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10
（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
不能。
很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有
例题精讲
5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。
本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。
12345678927+++++++-=或12345678927---+++++=
模块二：奇偶运算性质综合及代数分析法
【例 5】 是否存在自然数a 和b ，使得ab(a ＋b)=115?
【解析】 不存在。
此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的
组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成立。
【巩固】 是否存在自然数a 、b 、c ，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？
【解析】 不存在。
可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。
但是比
较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b 、b-c 、a-c 都为奇数，再根据奇偶性进行判断。
【巩固】 已知a,b,c 中有一个是511，一个是622，一个是793。
求证：(1)(2)(3)
a b c ---是一个偶数
【解析】 因为在a,b,c 中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明a,c 两个数中至少有一个是
奇数，那么(1)a -和(3)c -中至少有一个是偶数，所以(1)(2)(3)a b c ---中至少有一个因数是偶数，结果为偶数
模块三、奇偶模型与应用题
【例 6】 沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植
物上能否一共结有225个浆果?说明理由．
【解析】 不能。
本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。
相邻的两个植物果实数
目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.
【例 7】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于
1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．
【解析】 因为两个数的和a b +与两个数的差a b -的奇偶性相同，所以a b a b ++-（）（）
的和是偶数．由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．
模块四：整数的奇偶性分析法
【例 8】 一个图书馆分东西两个阅览室．东阅览室里每张桌子上有2盏灯．西阅览室里每
张桌子上有3盏灯．现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数．问：哪个阅览室的桌子数是奇数？
【解析】 根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、
灯数的奇偶性呢？由于东阅览室里每张桌子上有2盏灯，因此东阅览室的灯的总数
一定是偶数．由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是
奇数．又因为西阅览室里每张桌子上有3盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数．由
于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数．所以，只有
西阅览室的桌子数是奇数．
【例 9】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都
标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条
件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？
【解析】注意到所给出的6个数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的．原因是：师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为
四个偶数的和．徒弟的另一筐产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出，求出
徒弟加工零件总数为：
（）（），那另一筐放有产品1698782
-= +++++÷+=
78948687828021169
(只)．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．
课后练习
练习1.东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564
=⨯+，他做得对吗？【解析】等式左边是偶数，1375
⨯是奇数，64是偶数，根据奇数+偶数=奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．
练习2.a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？
（★★★）
+++。
则接下来可以分类讨【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为a b c abc
论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。
经验证如果要满足上式结
果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。
练习3.黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1
＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少
需要写几次得到？
【解析】黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开
始，那么“奇×奇＋奇＋奇=奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以
不可能出现2008。